ポタージュを垂れ流す。

マイペースこうしん（主に旅行）

三次方程式の1つの解を別の解で表現する

数学

お題

有理数係数三次方程式x^3+ax^2+bx+c=0の解を\alpha,\beta,\gammaとしたとき，\beta,\gammaは有理数係数の\alphaの二次式で表すことができる．

証明的なやつ

\alpha>\beta>\gammaとしてよい．
解と係数の関係より，
\alpha+\beta+\gamma=-a，\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=b
よって
\beta+\gamma=-\alpha-a，\beta\gamma=\alpha^2+a\alpha+b
これを用いて
(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)
=\alpha^2-\alpha(\beta+\gamma)+\beta\gamma
=\alpha^2-\alpha(\beta+\gamma)-\alpha(\beta+\gamma)+b
=\alpha^2-2\alpha(-\alpha-a)+b
=3\alpha^2+2a\alpha+b・・・☆
また，
(\beta-\gamma)^2
=(\beta+\gamma)^2-4\beta\gamma
=(-\alpha-a)^2-4(\alpha^2 a\alpha+b)
=-3\alpha^2-2a\alpha+a^2-4b
となるから，
(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)(\beta-\gamma)^2
=(3\alpha^2+2a\alpha+b)(-3\alpha^2-2a\alpha+a^2-4b)
=-9\alpha^4-12a\alpha^3+(-a^2-15b)\alpha^2+(2a^3-10ab)\alpha+a^2 b-4b^2
=-9\alpha(-a\alpha^2-b\alpha-c)-12a(-a\alpha^2-b\alpha-c)+(-a^2-15b)\alpha^2+(2a^3-10ab)\alpha+a^2 b-4b^2
=9a\alpha^3+(11a^2-6b)\alpha^2+(2a^3+2ab+9c)\alpha+(a^2 b-4b^2+12ac)
=9a(-a\alpha^2-b\alpha-c)+(11a^2-6b)\alpha^2+(2a^3+2ab+9c)\alpha+(a^2 b-4b^2+12ac)
=2(a^2-3b)\alpha^2+(2a^3-7ab+9c)\alpha+(a^2 b-4b^2+3ac)
なお，途中で
\alpha^3=-a\alpha^2-b\alpha-c\Leftrightarrow\alpha^3=-a\alpha^2-b\alpha-c
の関係を用いた．また，
x^3+ax^2+bx+c=0に\displaystyle x=X-\frac{a}{3}を代入すると
\displaystyle (X-\frac{a}{3})^3+a(X-\frac{a}{3})^2+b(X-\frac{a}{3})+c=0
\displaystyle X^3-aX^2+\frac{a^2}{3}X-\frac{a^3}{27}+aX^2-\frac{2a^2}{3}X+\frac{a^3}{9}+cX-\frac{ab}{3a}+c =0
\displaystyle X^3+(b-\frac{a^2}{2})X+\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c=0
ここで，\displaystyle p=b-\frac{a^2}{3},q=\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+cとすれば，これは
X^3+pX+q=0
となる．この方程式の3解をA,B,Cとすれば，解と係数の関係より
A+B+C=0,AB+BC+CA=p,ABC=-q
となる．
(A-B)(A-C)=3A^2+p
（☆の文字をそれぞれ対応させる）
同様にして
(B-A)(B-C)=3B^2+p
(C-A)(C-B)=3C^2+p
また，A-B,A-C,B-A,B-C,C-A,C-Bは，\displaystyle x=X-\frac{a}{3}と置いたことにより，それぞれ\alpha-\beta,\alpha-\gamma,\beta-\alpha,\beta-\gamma,\gamma-\alpha,\gamma-\betaに対応するので，
(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)=3A^2+p
(\beta-\alpha)(\beta-\gamma)=3B^2+p
(\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)=3C^2+p
(\alpha-\beta)^2 (\alpha-\gamma)^2 (\beta-\gamma)^2
=-(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)\cdot(\beta-\alpha)(\beta-\gamma)\cdot(\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)
=-(3A^2+p)(3B^2+p)(3C^2+p)
=-( p^3+3(A^2+B^2+C^2)p^2+9(A^2 B^2 + B^2 C^2 + C^2 A^2)p+27A^2 B^2 C^2) =-p^3+6p^3-9p^3-27q^2
=-4p^3 -27q^2
ここで
A^2 B^2 + B^2 C^2 + C^2 A^2
=(AB+BC+CA)^2-2ABC(A+B+C)
=p^2
A^2 +B^2 +C^2
=(A+B+C)^2 -2(AB+BC+CA)
=-2p
であることを用いた．
\displaystyle p=b-\frac{a^2}{3},q=\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+cとおいたので，元に戻すと
(\alpha-\beta)^2 (\alpha-\gamma)^2 (\beta-\gamma)^2
\displaystyle =-4(b-\frac{a^2}{3})^3 -27(\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c)^2
=a^2 b^2 -4a^3 c +18abc -4b^3-27c^2
よって，
(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)(\beta-\gamma)
=\sqrt{a^2 b^2 -4a^3 c +18abc -4b^3-27c^2}
また，
\beta-\gamma=\displaystyle \frac{(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)(\beta-\gamma)^2}{(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)(\beta-\gamma)}
\displaystyle =\frac{2(a^2-3b)\alpha^2+(2a^3-7ab+9c)\alpha+(a^2 b-4b^2+3ac)}{\sqrt{a^2 b^2 -4a^3 c +18abc -4b^3-27c^2}}
これと
\beta+\gamma=-\alpha-a
を連立すると，
\displaystyle \beta=-\frac{1}{2}(\alpha+a)-\frac{2(a^2-3b)\alpha^2+(2a^3-7ab+9c)\alpha+(a^2 b-4b^2+3ac)}{\sqrt{a^2 b^2 -4a^3 c +18abc -4b^3-27c^2}}
\displaystyle \gamma=-\frac{1}{2}(\alpha+a)+\frac{2(a^2-3b)\alpha^2+(2a^3-7ab+9c)\alpha+(a^2 b-4b^2+3ac)}{\sqrt{a^2 b^2 -4a^3 c +18abc -4b^3-27c^2}}
となって，確かに\beta,\gammaは有理数係数の\alphaの二次式で表すことができた．

補足とか

そもそも書こうとしたきっかけはx^3-3x+1=0とかで\beta,\gammaを\alphaを用いて表すとかだったんですけど，初めて解いた時に判別式の値ありきな解き方しちゃって一般的に考えれないのかって思ったのが始まりなんですけど，ちゃんと一般的に表せましたね． 三次方程式ax^3+bx^2+cx+d=0の判別式DはD=a^4 (\alpha-\beta)^2 (\alpha-\gamma)^2 (\beta-\gamma)^2と表せるんですけど，ここではa→1,b→a,c→b,d→cとして，色々やったらD=a^2 b^2 -4a^3 c +18abc -4b^3-27c^2が出てきたということです．途中で(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)(\beta-\gamma)つまり\sqrt{D}を使ってるんですけど，有理数係数で表せるのは\sqrt{D}が実数になる場合だけですね．
あとまあ解が巡回するとかどうとかそういうのもあったりするー．（書こうと思ったけどなんかめんどくなった）

ルート2の近似

数学

はじめに

twitterみてたら某青色予備校の模試の問題が回ってきたわけで、

x_1=3，y_1=5，x_{n+1}=3x_n+2y_n+1，y_{n+1}=4x_n+3y_n+2，(n=1,2,3,......)により数列{x_n}，{y_n}を定義する．
(1)すべての自然数nについて，n＜x_n＜y_nが成り立つことを示せ．
(2)すべての自然数nについて，y_n^2=2x_n^2+2x_n+1が成り立つことを示せ．
(3) \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{y_n}{x_n}の値を求めよ．
(4) (3)で求めた値を\alphaとするとき，
\displaystyle \left| \frac{y_n^2}{x_n^2} - \alpha ^2 \right| ＜ \frac{1}{100}ならば\displaystyle \left| \left( \frac{2x_n+1}{y_n} \right) ^2 - \alpha^2 \right|＜ \frac{1}{80000} であることを示せ．

初めてみたとき80000とかいうのと比較するのヤバwとか思って面白かったので友人に問題投げたら「これペル方程式とかニュートン法とかそういう系の話じゃね」って言われて、まあ考察タイムに入ったというわけですね！ってほとんど友人がやったことをまとめてるだけなんですけどネw

考察してみた

(1)はどうでもいいや()
(2)(3)について。ペル方程式X^2-2Y^2=-1を考えると、(X,Y)=(2x_n+1,y_n)を代入して整理すると、(2)で示す等式になるのでこれらは解になっています。ここで、(X,Y)が十分大きいときを考えると、比\displaystyle \frac{X}{Y}は\sqrt{2}に近づいていきます。また、\displaystyle \frac{y_n}{x_n}も\sqrt{2}に近づいていきます。
そこで(4)では、これらのうち、どっちの収束が早いか調べてるって感じみたいですね。

と、ここで、折角なのでpythonなんかを使って実際に計算をやってみました！って結果が下の表ですねー

n x_n y_n \displaystyle \frac{y_n}{x_n} \displaystyle \frac{2x_n+1}{y_n}
1 3 5 1.6666666666666667 1.6
2 20 29 1.45 1.4482758620689655
3 119 169 1.4201680672268908 1.4201183431952662
4 696 985 1.4152298850574712 1.4152284263959392
5 4059 5741 1.4143877802414389 1.4143877373279916
6 23660 33461 1.4142434488588336 1.4142434475957084
7 137903 195025 1.4142186899487321 1.4142186899115499
8 803760 1136689 1.4142144421220264 1.414214442120932
9 4684659 6625109 1.414213713314032 1.4142137133139998
10 27304196 38613965 1.414213588270462 1.4142135882704612
11 159140519 225058681 1.4142135668163807 1.4142135668163807
12 927538920 1311738121 1.4142135631354424 1.4142135631354424
13 5406093003 7645370045 1.4142135625038932 1.4142135625038932
14 31509019100 44560482149 1.4142135623955365 1.4142135623955365
15 183648021599 259717522849 1.4142135623769454 1.4142135623769454
16 1070379110496 1513744654945 1.4142135623737557 1.4142135623737557
17 6238626641379 8822750406821 1.4142135623732084 1.4142135623732084
18 36361380737780 51422757785981 1.4142135623731145 1.4142135623731145
19 211929657785303 299713796309065 1.4142135623730985 1.4142135623730985
20 1235216565974040 1746860020068409 1.4142135623730956 1.4142135623730956

※\sqrt{2}=1.41421356237309504...

これを見ると確かに右のほうが収束が早そうですね。n=10からもう違いがわかんないんで差をとったやつも下に載せて見ました

n \displaystyle ‖ \frac{y_n}{x_n}-\sqrt{2} ‖ \displaystyle ‖ \frac{2x_n+1}{y_n} - \sqrt{2} ‖
1 0.2524531042935716 0.014213562373095234
2 0.03578643762690481 0.00042045892481934466
3 0.005954504853795672 1.2378941142587863×10^{-5}
4 0.0010163226843760143 3.644035520000699×10^{-7}
5 0.00017421786834370678 1.0727040367086715×10^{-8}
6 2.9886485738428448×10^{-5} 3.157747396898003×10^{-10}
7 5.127575636976189×10^{-6} 9.29567534058151×10^{-12}
8 8.797489312595275×10^{-7} 2.737809978725636×10^{-13}
9 1.509409368605219×10^{-7} 8.215650382226158×10^{-15}
10 2.589736691760436×10^{-8} 4.440892098500626×10^{-16}
11 4.443285517297113×10^{-9} <10^{-16}
12 7.623472964013445×10^{-10} <10^{-16}
13 1.307980390663488×10^{-10} <10^{-16}
14 2.244138208595814×10^{-11} <10^{-16}
15 3.850253449400043×10^{-12} <10^{-16}
16 6.605826996519681×10^{-13} <10^{-16}
17 1.1324274851176597×10^{-13} <10^{-16}
18 1.9317880628477724×10^{-14} <10^{-16}
19 3.3306690738754696×10^{-15} <10^{-16}
20 4.440892098500626×10^{-16} <10^{-16}

こっちだとわかりやすいですね！右のほうが収束がめっちゃ早い。途中から計算結果が0になって表示されなくなっちゃったし。
ここで32桁とかで出せないかなって調べて見たらpythonの構造上16桁以上になると正確な値にならないらしい......残念。

円上の点とその動点との距離の和

数学

問題

原点を中心とする半径1の円の周上にA_1 (1,0)，A_2 (0,1)，A_3 (-1,0)，A_4 (0,-1)と動点Pをとるとき，PA_1 +PA_2 +PA_3 +PA_4の最小値を求めよ．

解き方いろいろ

個人的に今週ホットな問題．まずは普通にやってみます．

解法1

P(\cosθ,\sinθ)とする．図形の対称性から，\displaystyle 0≦θ≦\frac{\pi}{2}としてよい．
PA_1 +PA_2 +PA_3 +PA_4
\ \ =\sqrt{(\cosθ-1)^2+\sin^2 θ}+\sqrt{(\cos^2 θ+(\sinθ-1)^2}+\sqrt{(\cosθ+1)^2+\sin^2 θ}+\sqrt{\cos^2 θ+(\sinθ+1)^2}
\ \ =\sqrt{2-2\cosθ}+\sqrt{2-2\sinθ}+\sqrt{2+2\cosθ}+\sqrt{2+2\sinθ}
\displaystyle \ \ =2\sin\frac{θ}{2}+2\cos\frac{θ}{2}+2\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{θ}{2}\right)+2\cos\left(\frac{\pi}{4}-\frac{θ}{2}\right)
\displaystyle \ \ =2\sin\frac{θ}{2}+2\cos\frac{θ}{2}+2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\frac{θ}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\frac{θ}{2}\right)+2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\frac{θ}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\frac{θ}{2}\right)
\displaystyle \ \ =2\sin\frac{θ}{2}+(2+2\sqrt{2})\cos\frac{θ}{2}
\displaystyle \ \ =2\sqrt{4+2\sqrt{2}}\sin\left(\frac{θ}{2}+\alpha\right)
\displaystyle \ \ ≧2\sqrt{4+2\sqrt{2}}\sin\alpha *1
\displaystyle \ \ = 2(1+\sqrt{2})
ただし，\displaystyle \sin\alpha=\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}},\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}
よって求める最小値は\displaystyle 2(1+\sqrt{2})

解法2

って感じで上のように，普通にできそうですよね．でも，三角関数使うとルートの中に三角関数出てきたりとか正弦を余弦に変換するのに\frac{\pi}{2}から引くとかやらないといけなくてなんかイヤじゃないですか？僕は嫌ですw 三角関数なんて使わなくても出ませんかね？ってことで三角関数禁止ルールで色々考えてみた．

解法2-1

図形の対称性から弧A_1 A_2上に点Pがあるとしてよい．四角形PA_2 A_3 A_4にトレミーの定理を用いて
PA_2 \cdot A_3 A_4 + PA_4 \cdot A_2 A_3 = PA_3 \cdot A_2 A_4
PA_2 \cdot \sqrt{2} + PA_4 \cdot \sqrt{2}= PA_3 \cdot 2
\therefore PA_2 + PA_4 = \sqrt{2}PA_3
四角形PA_1 A_4 A_3にトレミーの定理を用いて，
PA_1 \cdot A_3 A_4 + PA_3 \cdot A_1 A_4 = PA_4 \cdot A_1A_3
PA_1 \cdot \sqrt{2} + PA_3 \cdot \sqrt{2}= PA_4 \cdot 2
\therefore PA_1 + PA_3 = \sqrt{2}PA_4
弧A_3 A_4の中点をMとすると，A_3 M=A_4 M（=lとする）である．
四角形PA_3 M A_4にトレミーの定理を用いて，
PA_3 \cdot A_4 M + PA_4 \cdot A_3 M = PM \cdot A_3 A_4
PA_3 \cdot l + PA_4 \cdot l= PM \cdot \sqrt{2}
\displaystyle \therefore \sqrt{2}PA_3 + \sqrt{2}PA_4 = \frac{2}{l}PM
以上の式から， PA_1 + PA_2 + PA_3 + PA_4 = \sqrt{2}PA_3 + \sqrt{2}PA_4 \ = \frac{2}{l}PM
となるから，PMが最小となる点を調べると，弧A_1 A_2に点Pが存在している場合は，点PがA_1かA_2に一致するときにPMは最小となることがわかる．
よって，Pが円周全体を動く時，点PがA_1，A_2，A_3，A_4のいずれかに一致するときにPA_1 + PA_2 + PA_3 + PA_4は最小となり，その値は，2(1+\sqrt{2})．

これだとなんとなく直感的にわかりますよね，個人的には線の長さの和を1つの線の長さに一致させて考えられるってのが直感的にわかりやすくで好きです．紙とかなくても頭の中である程度は計算できますしね．ただしっかり書くとなると式の数がちょっと多くなってしまうのが難点な気もします．なお，この解法では新しく点Mを取りましたが，下のように取らなくても答えは出ます．

解法2-2

図形の対称性から弧A_1 A_2上に点Pがあるとしてよい．四角形PA_2 A_3 A_4にトレミーの定理を用いて
PA_2 \cdot A_3 A_4 + PA_4 \cdot A_2 A_3 = PA_3 \cdot A_2 A_4
PA_2 \cdot \sqrt{2} + PA_4 \cdot \sqrt{2}= PA_3 \cdot 2
\therefore PA_2 + PA_4 = \sqrt{2}PA_3
四角形PA_1 A_4 A_3にトレミーの定理を用いて，
PA_1 \cdot A_3 A_4 + PA_3 \cdot A_1 A_4 = PA_4 \cdot A_1A_3
PA_1 \cdot \sqrt{2} + PA_3 \cdot \sqrt{2}= PA_4 \cdot 2
\therefore PA_1 + PA_3 = \sqrt{2}PA_4
四角形PA_1 A_4 A_2にトレミーの定理を用いて，
PA_1 \cdot A_2 A_4 + PA_2 \cdot A_1 A_4 = PA_4 \cdot A_1A_2
PA_1 \cdot 2 + PA_3 \cdot \sqrt{2}= PA_4 \cdot \sqrt{2}
\therefore 2PA_1 + \sqrt{2}PA_3= \sqrt{2}PA_4
四角形PA_1 A_3 A_2にトレミーの定理を用いて，
PA_1 \cdot A_2 A_3 + PA_2 \cdot A_1 A_3 = PA_3 \cdot A_1A_2
PA_1 \cdot \sqrt{2} + PA_2 \cdot 2= PA_3 \cdot \sqrt{2}
\displaystyle \therefore \sqrt{2}PA_1 + 2PA_2 = \sqrt{2}PA_3
以上の式から， PA_1 + PA_2 + PA_3 + PA_4 = (1+\sqrt{2})(PA_1 +PA_2)
ここで，PA_1+PA_2≧A_1A_2=\sqrt{2}であり，点PがA_1かA_2に一致するときに等号成立するので，このときPA_1 + PA_2 + PA_3 + PA_4は最小値をとり，その値は，2(1+\sqrt{2})．

解法3

解法2-2の最後でPA_1+PA_2≧A_1A_2ってのを使ったけど，だったらPA_3+PA_4が最小になるのも点PがA_1かA_2に一致するときだって言えばいいんじゃね？っていうのが次のやつ．

図形の対称性から弧A_1 A_2上に点Pがあるとしてよい．A_3とA_4を直径とする円を考える．その円とPA_4との交点をQとしておき，A_3 Q=xとすると，1≦x≦\sqrt{2}．このとき，f(x)はこの範囲で連続で，PA_3=\sqrt{2}x，PQ=x，A_4 Q=\sqrt{A_3 A_4 ^2-A_3 Q ^2}=\sqrt{2-x^2}であるから，*2
PA_3+PA_4=(1+\sqrt{2})x+\sqrt{2-x^2}
となる．f(x)=(1+\sqrt{2})x+\sqrt{2-x^2}とすれば，
\displaystyle f’(x)=1+\sqrt{2}-\frac{x}{\sqrt{2-x^2}}，
\displaystyle f’'(x)=-\frac{\sqrt{2-x^2}-x\frac{-x}{\sqrt{2-x^2}}}{\sqrt{2-x^2}}=-\frac{2}{2-x^2}＜0
からf(x)は上に凸なので，区間の端点のいずれか（もしくは両方）が最小となるものである．計算してみるとf(1)=f(\sqrt{2})=2+\sqrt{2}で，どちらも最小．このとき，点PはA_1またはA_2に一致する位置にある．
よってPA_3+PA_4≧2+\sqrt{2}．
また，PA_1+PA_2≧A_1A_2=\sqrt{2}であり，点PがA_1かA_2に一致するときに等号成立．
これらの等号成立条件は一致しているから，これらを辺々足し合わせ，
PA_1 + PA_2 + PA_3 + PA_4≧2(1+\sqrt{2})
PA_1 + PA_2 + PA_3 + PA_4は2(1+\sqrt{2})で最小値をとる．

余計面倒になってる気もするんですけど，うん，まあいいじゃないですか． f:id:potaxyz:20180527115239p:plain

解法4

より直感的にいけないかって考えたやつ．twitterでアドバイスをもらってやってみたやつ．

PA_1+PA_2≧A_1A_2=\sqrt{2}であり，点PがA_1かA_2に一致するときに等号成立．
A_3とA_4を焦点とする楕円を考えると，長軸は直線A_3 A_4上に，短軸は線分A_3 A_4の垂直二等分線上にある．このとき，短半径が小さければ小さいほど弧A_1 A_2の端点に近いところと交点を持ち，焦点からの距離の和は小さくなる．*3よって，点PがA_1かA_2に一致するときにPA_3+PA_4は最小となり，その値は2+\sqrt{2}である．
よって，PA_1+PA_2とPA_3+PA_4の最小値をとる条件は一致するので，PA_1 + PA_2 + PA_3 + PA_4は2(1+\sqrt{2})で最小値をとる．

答えを見つけるだけならこれで考えればわりと妥当な感じでいけそうですね．どう書いて説明するかは...？難しそうw

*1:条件の範囲で\displaystyle \sin\left(\frac{θ}{2}+\alpha\right)は上に凸なので両端を調べると，\displaystyle θ=0,\frac{\pi}{4}ともに同じ値となります

*2:しっかりやるならx=\sqrt{2}は分けて考える

*3:長半径は短半径をパラメータとして単調増加関数です

2進数の3による剰余

数学

命題

整数Nを2進法表記したときにn桁の数になったとする．このとき，第k桁目の数をa_kとおくと，Nを3で割ったときの余りは\displaystyle \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} a_kを3で割ったときの余りに一致する．

証明

以下法を3とします． 2^{k-1} a_kは2進法ではk桁の数で，k桁目だけが1でk-1桁目まで0が並ぶ数です．Nはこれをk=1,2,......,nまで足し合わせたものだと考えられるので，
\displaystyle N= \sum_{k=1}^n 2^{k-1} a_k
です． ここで整数mとします．

  • k=2mのとき
    \displaystyle 2^{2m-1} a_{2m}=2 \cdot 4^m a_{2m} \equiv -a_{2m}

  • k=2m+1のとき
    \displaystyle 2^{2m} a_{2m+1}=4^m a_{2m+1} \equiv a_{2m+1}

よって，2^k a_k \equiv (-1)^{k-1} a_kとなりますから，これをk=1,2,......,nまで足し合わせることで，
\displaystyle \sum_{k=1}^n 2^{k-1} a_k \equiv \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} a_k \Leftrightarrow N \equiv \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}
が成り立つことがわかり，命題は示されました．

補足とか

普通にラウンジとかいうところで勉強してたら2進法が関係ある問題を出されたので，それにちょっと関連した感じで覚え書きです．シグマとか使って書かれてますけど要は2進法で表されてる数の桁を交互に足し引きしてそれが3の倍数になったら元の数を10進法で表した数も3の倍数ってことです．

反転に関する覚え書き

数学

問題

f:id:potaxyz:20180512002404p:plain xy平面のy≧0の部分にあり，x軸に接する円の列C_0,C_1,C_2,...，E_2,E_3,E_4,...を次のように定める．

  • 0以上の整数nに対し，C_{n}は半径1の円であり，C_{n+1}はC_{n}に外接する．

  • E_2はC_0とC_1に外接し，C_0とC_1の弧およびx軸で囲まれた部分にある．

  • 3以上の整数nに対し，E_nはC_0とE_{n-1}に外接し，C_0とE_{n-1}の弧およびx軸で囲まれた部分にある．

このとき，2以上の整数nに対し，C_{n}とE_{n}の共通外接線が原点を通ることを示せ．*1

反転の性質

中心O，半径rの円があり，Oを始点とする半直線上に2点P,P'があり，OP\times OP'=r^2であるとき，PをP'に写す操作をこの円に関する反転といいます．
無限遠点を定義すれば，この写像は厳密に全単射（変換前後の集合の元が一対一に対応していて，重複して対応したり，対応しないものがない）になります．
反転によって，

  • 原点を通る直線は原点を通る直線にうつる

  • 原点を通らない直線は原点を通る円にうつる

  • 原点を通る円は原点を通らない直線にうつる

  • 原点を通らない円は原点を通らない円にうつる

これらは三角形の相似とか方冪の定理とかで証明できます．
また，反転が全単射な写像であることから，図形同士が接している時，反転の前後でそれらの共有点の数は変わらず，

  • 反転によって接する，接しないという状況は変わらない

ということがわかります．この問題ではこの性質を用いることになります． まあ同じこと書いてあるからこちらの方を見てくださいな． mathtrain.jp

答え

l:x=0（x軸），m:x=2とする．
x^2+y^2=4（原点中心，半径2の円）に関する反転写像（fとする）を考えると，
f:l→l，f:m→C_0，f:C_1→C_1
である．
ここで，2以上の整数nに対し，f:C_n→E_nが成り立つことを示します．

  • n=2のとき
    C_2はl,m,C_1に接していて，E_2はl,C_0,C_1に接していることから，
    f:C_2→E_2
    がなりたちます

  • n=kのとき，f:C_k→E_kが成り立つと仮定します．
    n=k+1のとき，C_{k+1}はl,m,C_kに接していて，E_{k+1}はl,C_0,E_kに接していることから，
    f:C_{k+1}→E_{k+1}
    より，n=k+1のときもf:C_n→E_nが成立します．

ゆえに，2以上の整数nに対し，f:C_n→E_nが成り立ちます．
よって，C_nとE_nの共通外接線を考えた時，それらの接点は写像fで互いに写りあうので，原点とそれらの接点は同一直線上にあることがわかります．
したがって，C_{n}とE_{n}の共通外接線は原点を通ります．

補足など

授業で反転の話が始まってだいたいこんなこと言ってたのである程度整理してまとめてみました．とはいえあの場で多少でも理解できた人は一体どれくらいいるのだろうか...？
ちなみにE_n半径とか中心のx座標とかについての漸化式を立てて，原点とそれぞれの円の中心が同一直線上だって示してから相似がどうとかやれば，こんなことはしなくても証明はできます．

*1:texを久しぶりに使ってみたよ（どうでもいい）

でかいムカデに刺された

日々の出来事

あらまし

この日の朝、最寄り駅の改札を通った瞬間、ガビョウを踏んだような痛みが右足の親指に！よくわからんけどトゲでもささったかな？って思って靴下を脱いだら右のふとももに15cmくらいありそうなデカいムカデが落ちてきた！！！犯人はお前か！！！！！

自然にふざけんじゃねーぞって声が漏れた。普通に意味わかんないしふざけんじゃねーぞマジ。

Q.駅にいたムカデに刺されたのですか？

A.いいえ、多分家で僕の靴の中に入ってたムカデがそのまま中にいて、駅で刺されたものと思われます。（家は名古屋市内にはなく、そこそこ田舎にあって、ムカデとかヤスデとかクモとかがよく家の中を這っています）

Q.なぜ気づかなかったのか

A.知るか！！！！！！！！！！！！

薬を塗るまで

流石にわけわかんないからホームのベンチに座ってスマホで応急処置とか探した。

そうすると何かあったらすぐ病院へーとか他の虫刺されに比べてヤバそうな雰囲気漂ってる記事が多くてー焦りますよマジで。

とか思いながら応急処置が見つかったんだけど、45℃くらいのお湯で洗い流すとかいうのがまず出てきた。駅にそんなお湯なんてねーよ！！

で、次にステロイド系の塗り薬を塗るって出てきて、これが現実的だなーってなった。まあでもよくわからんし薬局行ってそこの人に聞けばいいや。

でも朝7時台だしどこも薬局なんてやってねーよ！！！

って思いながら探してたら名駅に行けば8時からやってる薬局があることが分かったので、とりあえず電車に乗った。

今日は電車の中で古文単語帳をやろうとせっかく意気込んで持ってきたのにそれどこじゃなく、痛すぎて右足が震えそうになってるのを抑えつつ下を向いて耐えるという感じでして、キツイ。冗談じゃねーぞマジで。

明らかに変な歩き方をしながら乗り換えをして名駅になんとか着いた。

薬局にて

僕「すいません、ムカデに刺されたみたいなんですけど......（どういう状況だよ）」

薬局のおじさん「それでしたらこれですと...（ｳﾝﾇﾝｶﾝﾇﾝ）...ですね」　

僕「ありがとうございます！！」

薬局のおじさん「お大事にしてくださいね」

僕「ありがとうございます！！！！！」

こうして貴重な1000円がなくなった。仕方ない。

 

【指定第2類医薬品】ムヒアルファEX 15g ※セルフメディケーション税制対象商品

【指定第2類医薬品】ムヒアルファEX 15g ※セルフメディケーション税制対象商品

 

 これを買った。

一刻も早く薬を塗るぞ！こっちは命かかってんだ！という気持ちで金時計で靴を脱いで塗り薬を塗った。けどこの後予備校まで歩かんといけないじゃん。ここで塗ってどうすんねん。

どういう痛みなのか

洗濯バサミ引っ張るやつあるでしょ。引っ張る瞬間めっちゃ痛いやつ。あの瞬間が永遠に続くと考えてもらえばいいと思います。

あと刺されたところに圧力かけるとより痛いとかそういうのはなくて、どういう姿勢であれ同じレベルの痛みが続く感じでした。

その後

予備校に着いて薬を塗り直した。そんなすぐ効くわけじゃないからまだ痛い。苦しみながら予習してたら知らんうちに友達にインスタのストーリーに動画あげられてた。なんやこれ。

授業に全く集中できないので一コマ目は寝るしかなかった。寝たら1割くらいマシになった。

時間経つにつれてだんだんよくなって、夕方頃には初めの5割くらいになってた。ステロイドすごい。

俺はムカデ人間なんかじゃねえ！！！

 

あれからムカデがいるか心配で家のスリッパが履けなくなりました。

さいごに

みんなも靴を履くときはムカデが中にいないか確認しよう！

三角形の面積比のやつ

数学
近況報告的な

クソみたいな日々を送っているのでつまらない毎日の中で虚無る前に勉強の中でのちょっとした発見に喜びを見出してなんとか生きながらえています。例えば今日のやつはそんな感じで気づいたっていう、そんなかんじです。！

はじめに

よくありますよね、こんなかんじのやつ。

\triangle ABCと点Pが3\vec{PA}+4\vec{PB}+5\vec{PC}=\vec{0}を満たす時，\triangle PAB，\triangle PBC，\triangle PCAの面積の比を求めよ．

答えは\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB =3:4:5になるんですけど、一般に

a\vec{PA}+b\vec{PB}+c\vec{PC}=\vec{0}を満たす正の実数a,b,cが存在するとき\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB =a:b:c

が成り立ちます。ネットで調べるといろいろでてきます。

本題

じゃあ、もし右辺が0じゃなかったらどうなるんだろう...！

\triangle ABCと点Pが3\vec{PA}+4\vec{PB}+5\vec{PC}=2\vec{AB}を満たす時，\triangle PAB，\triangle PBC，\triangle PCAの面積の比を求めよ．

これだったら、
3\vec{PA}+4\vec{PB}+5\vec{PC}=2\vec{AB}
3\vec{PA}+4\vec{PB}+5\vec{PC}=2\vec{PB}-2\vec{PA}
5\vec{PA}+2\vec{PB}+5\vec{PC}=\vec{0}
になって結局\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB =5:2:5ですね。

問題は次ですよ、ってかこれが今回記事にしたかったやつ

\triangle ABCと点Pが3\vec{PA}+4\vec{PB}+5\vec{PC}=6\vec{AB}を満たす時，\triangle PAB，\triangle PBC，\triangle PCAの面積の比を求めよ．

これだと、
3\vec{PA}+4\vec{PB}+5\vec{PC}=6\vec{AB}
3\vec{PA}+4\vec{PB}+5\vec{PC}=6\vec{PB}-6\vec{PA}
9\vec{PA}-2\vec{PB}+5\vec{PC}=\vec{0}
から、
\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB =9:-2:5（←は？？？）
これだとマイナスが出てきちゃったしよくわからないですねー、、
ってなってしまったので普通に解いてみましょう。 9\vec{PA}-2\vec{PB}+5\vec{PC}=\vec{0}
-9\vec{AP}-2(\vec{AB}-\vec{AP})+5(\vec{AC}-\vec{AP})=\vec{0}
12\vec{AP}=-2\vec{AB}+5\vec{AC}
\displaystyle \therefore\vec{AP}=\frac{1}{4} \frac{-2\vec{AB}+5\vec{AC}}{5-2}
よって、点Pは辺BCを5:2に外分する点をDとすると、線分ADを1:3に内分する位置に存在します。
\triangle ABD=Sと面積を置くことにすると、
\displaystyle \triangle PBC=\frac{3}{4}\frac{3}{5}S=\frac{9}{20}S
\displaystyle \triangle PCA=\frac{2}{5}\frac{1}{4}S=\frac{1}{10}S
\displaystyle \triangle PAB=\frac{1}{4}S
より、
\displaystyle \triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB =\frac{9}{20}S:\frac{1}{10}S:\frac{1}{4}S=9:2:5
になりました。これと
9\vec{PA}-2\vec{PB}+5\vec{PC}=\vec{0}
を比べると、もしかして、係数の絶対値がそのまま比になるのでは...って予想ができますね！ってことで一般に証明してみよう！

一般化

a\vec{PA}+b\vec{PB}+c\vec{PC}=\vec{0}を満たす実数a,b,c（ただし，いずれも0でない）が存在するとき\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB =|a|:|b|:|c|は成り立つのか

これを考えるにあたって、
①a,b,cがすべて正の実数のとき
②a,b,cのうち2つは正の実数で、1つが負の実数のとき
③a,b,cのうち1つは正の実数で、2つが負の実数のとき
④a,b,cがすべて負の実数のとき
の4パターンが考えられますが、④は両辺に-1を掛けることで①に帰着し、③も同様に両辺に-1を掛けることで②に帰着します。ここでは①については既知であるとすると、②を示せば、全てのパターンを網羅したことになって、この命題が示されることになりそうですね！

ということで②について示します
三角形の頂点の記号は任意に選べるので、aは負の実数、b,cは正の実数となるa\vec{PA}+b\vec{PB}+c\vec{PC}=\vec{0}をみたすものについて考えますが、ここで、係数のaを-aに置き換えて-a\vec{PA}+b\vec{PB}+c\vec{PC}=\vec{0}を満たす正の実数a,b,cについて考えることにします。

このとき、
-a\vec{PA}+b\vec{PB}+c\vec{PC}=\vec{0}
a\vec{AP}+b(\vec{AB}-\vec{AP})+c(\vec{AC}-\vec{AP})=\vec{0}
\displaystyle \because \vec{AP}=\frac{b+c}{-a+b+c}\frac{b\vec{AB}+c\vec{AC}}{c+b}
よって、点Pは辺BCをc:bに内分する点をDとすると、線分ADをb+c:aに外分する位置に存在します。
\triangle ABD=Sと面積を置くことにすると、
\displaystyle \triangle PBC=\frac{a}{|-a+b+c|}S
\displaystyle \triangle PCA=\frac{b}{b+c}\frac{b+c}{|-a+b+c|}S=\frac{b}{|-a+b+c|}S
\displaystyle \triangle PAB=\frac{c}{b+c}\frac{b+c}{|-a+b+c|}S=\frac{c}{|-a+b+c|}S
より、
\displaystyle \triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB =\frac{a}{|-a+b+c|}S:\frac{b}{|-a+b+c|}S:\frac{c}{|-a+b+c|}S=a:b:c
となって、確かに②は成立しました！
よって、①から④まで全ての場合について成り立つことが分かったので

a\vec{PA}+b\vec{PB}+c\vec{PC}=\vec{0}を満たす実数a,b,c（ただし，いずれも0でない）が存在するとき\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB =|a|:|b|:|c|

が一般に成り立つことが分かりました！