ポタージュを垂れ流す。

マイペースこうしん

正弦波ではない波の式

問題

下図はある瞬間のx軸の正の向きに速さvで伝わる波の様子である.この瞬間,波の形はxの関数として,y=Ae^{-(x-a)^2 /a^2}と表せる.この波の変位の大きさが最大値Aとなる点を頂点と呼び,この瞬間の頂点のx座標はx=aと表せる.また,変位の大きさが\frac{A}{e}より大きくなっている領域をこの波の空間的な幅dと呼ぶこととすると,この波の空間的な幅はd=2aである.

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(1) 図の瞬間をt=0としたとき,x=0のときの波の形をtの関数として表しなさい.また,x=0の媒質が頂点となる時刻および変位が\displaystyle \frac{A}{e}より大きくなる時間的な幅τも求めなさい.
(2) この波の波の式を求めなさい.
次に,図で描かれている波を入射波とし,x=L(>a)における反射によって生じる反射波について考えたい.ただし,x=Lにおける反射が固定端反射であるとする.
(3) 入射波によってx=Lの媒質に生じる振動(変位)y_{入射}tの関数として表しなさい.
(4) (3)で求めた関数をy_{入射} (t)とする.x=Lにおける入射波の振動をy_{反射} (t)としたとき,y_{入射} (t)y_{反射} (t)の関係を求めなさい.
(5) 反射波は(4)で求めたy_{反射} (t)を波源とするx軸の負の向きに伝わる波として求めることができる.反射波の波の式を求めなさい.
(私の高校の定期テストを一部改題)

習ったばっかりのときに正弦波じゃないのがテストに出されてビビった覚えがある.とはいえそう難しいわけじゃないけど.解説にもなかなかの煽りが書かれている

...そもそも「波=三角関数」といった先入観があるようだが,教科書などでも「パルス波」という山もしくは谷を1つだけ含む波が扱われている.三角関数にのみ目がいってしまって「波とは?」をおろそかにしていないだろうか.物理学で問われるのは手法(How to)ではなく,物事の本質である.
(私の高校の定期テストの解説より引用)

流石は○○高校の物理科だと思う.
めんどいので図示は全部式を求めよとかそういうのに変えました.最後に合成波の図示とかあったけどそれもめんどいので問題ごと消しました.


こたえ

(1)(2)
ある時刻tにおける波形は時刻t=0の波形からx方向にvtだけ進んだ(平行移動した)波となっているので, 波の式は
y(x,t)=y(x-vt,0)
から,
y(x,t)=Ae^{-(x-vt-a)^2 /a^2}
です,また,x=0のときは上の式にx=0を代入すれば,
\displaystyle y(0,t)=Ae^{-(vt+a)^2 /a^2}
となります.(vt+a)^2=a^2となるtt=0以外で求めると,\displaystyle t=-\frac{2a}{v}で,これらの差(の絶対値)がτであることから,
 \displaystyle τ=\frac{2a}{v}=\frac{d}{v}
となります.

(3)y(x,t)x=Lを代入して,
 y(L,t)=y_{入射}(t)=Ae^{-(L-vt-a)^2 /a^2}

(4)固定端反射のとき,反射するx=Lにおいては
 y(t)_{入射}+y(t)_{反射}=0
 \Leftrightarrow y_{入射}(t)=-y_{反射}(t)
が成り立ちます.

(5)固定端反射のとき,反射波と入射波は反射点(L,0)に対して任意の時刻で点対称なので,
 y_{反射}(x,t)=-y_{入射}(-x+2L,t)
より,
 y_{反射}(x,t)=-Ae^{-(-x+2L-vt-a)^2 /a^2}
 \ \ \ \ =-Ae^{-(x-2L+vt+a)^2 /a^2}
となります.


補足など

この形で表される関数はガウス関数と呼ばれるやつらしいです.正規分布とかでよく見かけるとかなんとか.