三角形の面積比のやつ - ポタージュを垂れ流す。

近況報告的な

クソみたいな日々を送っているのでつまらない毎日の中で虚無る前に勉強の中でのちょっとした発見に喜びを見出してなんとか生きながらえています。例えば今日のやつはそんな感じで気づいたっていう、そんなかんじです。！

はじめに

よくありますよね、こんなかんじのやつ。

$\triangle ABC$ と点 $P$ が $3\vec{PA}+4\vec{PB}+5\vec{PC}=\vec{0}$ を満たす時， $\triangle PAB$ ， $\triangle PBC$ ， $\triangle PCA$ の面積の比を求めよ．

答えは $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB =3:4:5$ になるんですけど、一般に

$a\vec{PA}+b\vec{PB}+c\vec{PC}=\vec{0}$ を満たす正の実数 $a,b,c$ が存在するとき $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB =a:b:c$

が成り立ちます。ネットで調べるといろいろでてきます。

本題

じゃあ、もし右辺が0じゃなかったらどうなるんだろう...！

$\triangle ABC$ と点 $P$ が $3\vec{PA}+4\vec{PB}+5\vec{PC}=2\vec{AB}$ を満たす時， $\triangle PAB$ ， $\triangle PBC$ ， $\triangle PCA$ の面積の比を求めよ．

これだったら、
$3\vec{PA}+4\vec{PB}+5\vec{PC}=2\vec{AB}$
$3\vec{PA}+4\vec{PB}+5\vec{PC}=2\vec{PB}-2\vec{PA}$
$5\vec{PA}+2\vec{PB}+5\vec{PC}=\vec{0}$
になって結局 $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB =5:2:5$ ですね。

問題は次ですよ、ってかこれが今回記事にしたかったやつ

$\triangle ABC$ と点 $P$ が $3\vec{PA}+4\vec{PB}+5\vec{PC}=6\vec{AB}$ を満たす時， $\triangle PAB$ ， $\triangle PBC$ ， $\triangle PCA$ の面積の比を求めよ．

これだと、
$3\vec{PA}+4\vec{PB}+5\vec{PC}=6\vec{AB}$
$3\vec{PA}+4\vec{PB}+5\vec{PC}=6\vec{PB}-6\vec{PA}$
$9\vec{PA}-2\vec{PB}+5\vec{PC}=\vec{0}$
から、
$\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB =9:-2:5$ （←は？？？）
これだとマイナスが出てきちゃったしよくわからないですねー、、
ってなってしまったので普通に解いてみましょう。 $9\vec{PA}-2\vec{PB}+5\vec{PC}=\vec{0}$
$-9\vec{AP}-2(\vec{AB}-\vec{AP})+5(\vec{AC}-\vec{AP})=\vec{0}$
$12\vec{AP}=-2\vec{AB}+5\vec{AC}$
$\displaystyle \therefore\vec{AP}=\frac{1}{4} \frac{-2\vec{AB}+5\vec{AC}}{5-2}$
よって、点Pは辺BCを5:2に外分する点をDとすると、線分ADを1:3に内分する位置に存在します。
$\triangle ABD=S$ と面積を置くことにすると、
$\displaystyle \triangle PBC=\frac{3}{4}\frac{3}{5}S=\frac{9}{20}S$
$\displaystyle \triangle PCA=\frac{2}{5}\frac{1}{4}S=\frac{1}{10}S$
$\displaystyle \triangle PAB=\frac{1}{4}S$
より、
$\displaystyle \triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB =\frac{9}{20}S:\frac{1}{10}S:\frac{1}{4}S=9:2:5$
になりました。これと
$9\vec{PA}-2\vec{PB}+5\vec{PC}=\vec{0}$
を比べると、もしかして、係数の絶対値がそのまま比になるのでは...って予想ができますね！ってことで一般に証明してみよう！

一般化

$a\vec{PA}+b\vec{PB}+c\vec{PC}=\vec{0}$ を満たす実数 $a,b,c$ （ただし，いずれも0でない）が存在するとき $\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB =|a|:|b|:|c|$ は成り立つのか

これを考えるにあたって、
① $a,b,c$ がすべて正の実数のとき
② $a,b,c$ のうち2つは正の実数で、1つが負の実数のとき
③ $a,b,c$ のうち1つは正の実数で、2つが負の実数のとき
④ $a,b,c$ がすべて負の実数のとき
の4パターンが考えられますが、④は両辺に-1を掛けることで①に帰着し、③も同様に両辺に-1を掛けることで②に帰着します。ここでは①については既知であるとすると、②を示せば、全てのパターンを網羅したことになって、この命題が示されることになりそうですね！

ということで②について示します
三角形の頂点の記号は任意に選べるので、 $a$ は負の実数、 $b,c$ は正の実数となる $a\vec{PA}+b\vec{PB}+c\vec{PC}=\vec{0}$ をみたすものについて考えますが、ここで、係数のaを-aに置き換えて $-a\vec{PA}+b\vec{PB}+c\vec{PC}=\vec{0}$ を満たす正の実数 $a,b,c$ について考えることにします。

このとき、
$-a\vec{PA}+b\vec{PB}+c\vec{PC}=\vec{0}$
$a\vec{AP}+b(\vec{AB}-\vec{AP})+c(\vec{AC}-\vec{AP})=\vec{0}$
$\displaystyle \because \vec{AP}=\frac{b+c}{-a+b+c}\frac{b\vec{AB}+c\vec{AC}}{c+b}$
よって、点Pは辺BCをc:bに内分する点をDとすると、線分ADをb+c:aに外分する位置に存在します。
$\triangle ABD=S$ と面積を置くことにすると、
$\displaystyle \triangle PBC=\frac{a}{|-a+b+c|}S$
$\displaystyle \triangle PCA=\frac{b}{b+c}\frac{b+c}{|-a+b+c|}S=\frac{b}{|-a+b+c|}S$
$\displaystyle \triangle PAB=\frac{c}{b+c}\frac{b+c}{|-a+b+c|}S=\frac{c}{|-a+b+c|}S$
より、
$\displaystyle \triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB =\frac{a}{|-a+b+c|}S:\frac{b}{|-a+b+c|}S:\frac{c}{|-a+b+c|}S=a:b:c$
となって、確かに②は成立しました！
よって、①から④まで全ての場合について成り立つことが分かったので