ルート2の近似

はじめに

twitterみてたら某青色予備校の模試の問題が回ってきたわけで、

，，，，により数列，を定義する．
(1)すべての自然数について，が成り立つことを示せ．
(2)すべての自然数について，が成り立つことを示せ．
(3) の値を求めよ．
(4) (3)で求めた値をとするとき，
ならば であることを示せ．

初めてみたとき80000とかいうのと比較するのヤバwとか思って面白かったので友人に問題投げたら「これペル方程式とかニュートン法とかそういう系の話じゃね」って言われて、まあ考察タイムに入ったというわけですね！ってほとんど友人がやったことをまとめてるだけなんですけどネw

考察してみた

(1)はどうでもいいや()
(2)(3)について。ペル方程式を考えると、を代入して整理すると、(2)で示す等式になるのでこれらは解になっています。ここで、が十分大きいときを考えると、比はに近づいていきます。また、もに近づいていきます。
そこで(4)では、これらのうち、どっちの収束が早いか調べてるって感じみたいですね。

と、ここで、折角なのでpythonなんかを使って実際に計算をやってみました！って結果が下の表ですねー

n
1	3	5	1.6666666666666667	1.6
2	20	29	1.45	1.4482758620689655
3	119	169	1.4201680672268908	1.4201183431952662
4	696	985	1.4152298850574712	1.4152284263959392
5	4059	5741	1.4143877802414389	1.4143877373279916
6	23660	33461	1.4142434488588336	1.4142434475957084
7	137903	195025	1.4142186899487321	1.4142186899115499
8	803760	1136689	1.4142144421220264	1.414214442120932
9	4684659	6625109	1.414213713314032	1.4142137133139998
10	27304196	38613965	1.414213588270462	1.4142135882704612
11	159140519	225058681	1.4142135668163807	1.4142135668163807
12	927538920	1311738121	1.4142135631354424	1.4142135631354424
13	5406093003	7645370045	1.4142135625038932	1.4142135625038932
14	31509019100	44560482149	1.4142135623955365	1.4142135623955365
15	183648021599	259717522849	1.4142135623769454	1.4142135623769454
16	1070379110496	1513744654945	1.4142135623737557	1.4142135623737557
17	6238626641379	8822750406821	1.4142135623732084	1.4142135623732084
18	36361380737780	51422757785981	1.4142135623731145	1.4142135623731145
19	211929657785303	299713796309065	1.4142135623730985	1.4142135623730985
20	1235216565974040	1746860020068409	1.4142135623730956	1.4142135623730956

※1.41421356237309504...

これを見ると確かに右のほうが収束が早そうですね。からもう違いがわかんないんで差をとったやつも下に載せて見ました

n
1	0.2524531042935716	0.014213562373095234
2	0.03578643762690481	0.00042045892481934466
3	0.005954504853795672	1.2378941142587863×10
4	0.0010163226843760143	3.644035520000699×10
5	0.00017421786834370678	1.0727040367086715×10
6	2.9886485738428448×10	3.157747396898003×10
7	5.127575636976189×10	9.29567534058151×10
8	8.797489312595275×10	2.737809978725636×10
9	1.509409368605219×10	8.215650382226158×10
10	2.589736691760436×10	4.440892098500626×10
11	4.443285517297113×10	<10
12	7.623472964013445×10	<10
13	1.307980390663488×10	<10
14	2.244138208595814×10	<10
15	3.850253449400043×10	<10
16	6.605826996519681×10	<10
17	1.1324274851176597×10	<10
18	1.9317880628477724×10	<10
19	3.3306690738754696×10	<10
20	4.440892098500626×10	<10

こっちだとわかりやすいですね！右のほうが収束がめっちゃ早い。途中から計算結果が0になって表示されなくなっちゃったし。
ここで32桁とかで出せないかなって調べて見たらpythonの構造上16桁以上になると正確な値にならないらしい......残念。