あ

思いつき系(?)の問題を3つ用意してみたよ．

問題

1. が平方数となるようなをすべて求めよ．
2. 任意の整数に対して，連続する個の自然数で，そのどれもが素数でないものが存在することを示せ．
3. は実数の定数とする．方程式は0と1の間に少なくとも1つの解を持つことを示せ．

こたえ

1. では不適で，のとき，となって適する．以後，のときを考える．が平方数ならばも平方数．では $$ (2n^2+n)^2 < 4(n^4+n^3+n^2+n+1) < (2n^2+n+1)^2 $$が成立するので，平方数となるは存在しない．
2. 連続する個の自然数は，ある自然数を用いて $$ m+2,m+3,\cdots\cdots ,m+N,m+N+1 $$ と表せる．ここで，とすれば，これらはどれも整数ではない．実際，をみたす自然数に対して， $$ m+i=(N+1)!+i=\{ (1\times 2\times \cdots \times (i-1) \times 1 \times (i+1) \times \cdots \times N+1)+1 \} \times i $$ はで割り切れる．
3. 与式の左辺を0から1の区間で積分すると $$ \int_0^1 3(a-1)x^2+6x-a-2 = \left[ (a-1)x^3+3x^2-(a+2)x \right] _0^1 =0 $$ となるので，0と1の間に少なくとも1つの解を持つ．