ポタージュを垂れ流す。

マイペースこうしん

思いつき系(?)の問題を3つ用意してみたよ.

問題

  1. n^4+n^3+n^2+n+1が平方数となるようなnをすべて求めよ.
  2. 任意の整数N>1に対して,連続するN個の自然数で,そのどれもが素数でないものが存在することを示せ.
  3. aは実数の定数とする.方程式3(a-1)x^2+6x-a-2=0は0と1の間に少なくとも1つの解を持つことを示せ.

こたえ

  1. n=1,2では不適で,n=3のとき,n^4+n^3+n^2+n+1=121=11^2となって適する.以後,n>3のときを考える.n^4+n^3+n^2+n+1が平方数ならば4n^4+4n^3+4n^2+4n+4も平方数.n>3では $$ (2n^2+n)^2 < 4(n^4+n^3+n^2+n+1) < (2n^2+n+1)^2 $$が成立するので,平方数となるnは存在しない.
  2. 連続するN個の自然数は,ある自然数mを用いて $$ m+2,m+3,\cdots\cdots ,m+N,m+N+1 $$ と表せる.ここで,m=(N+1)!とすれば,これらはどれも整数ではない.実際,2\leqq i \leqq N+1をみたす自然数iに対して, $$ m+i=(N+1)!+i=\{ (1\times 2\times \cdots \times (i-1) \times 1 \times (i+1) \times \cdots \times N+1)+1 \} \times i $$ はiで割り切れる.
  3. 与式の左辺を0から1の区間積分すると $$ \int_0^1 3(a-1)x^2+6x-a-2 = \left[ (a-1)x^3+3x^2-(a+2)x \right] _0^1 =0 $$ となるので,0と1の間に少なくとも1つの解を持つ.