本屋で数オリの本を立ち読みしてて見つけたもの．事実だけ載ってて証明的なソレはなかったので軽くやってみた．ノートにまとめる程でもないのでブログに載せておこうと思ったよ．
お題
三角形
があり，内心を
，外心を
，三角形 の外接円と直線
の交点を
とすると, うまく複素数
を選ぶことにより,
$$
A(a^2),B(b^2),C(c^2),D(−bc),E(−ca),F(−ab)
$$
$$
O(0)，I(−ab − bc − ca)
$$
$$
三角形 ABC の外接円 : |z| = 1
$$
とおくことができる．
証明
おおまかな流れ
先に三角形DEFの垂心の複素数を求めて，それが三角形ABCの内心になりうることを示します．以下では
はすべて単位円上の点とします．
三角形DEFの垂心の複素数を求める
使いたいことを先に提示しておきます．
複素座標上の単位円上の異なる3点
によってつくられる三角形
の垂心
は
$$
h=p+q+r
$$
と表される．
オイラー線を考えれば三角形の重心
であることから
なので
ってことなんだけど下で真面目にちょっとやってみます．
なので，これを複素数の数式として表すと
$$
\left(\frac{h-p}{r-q}\right)+\overline{\left(\frac{h-p}{r-q}\right)}=0
$$
これを整理すると
$$
h+\frac{r-q}{\overline{r}-\overline{q}}\overline{h}=p+\frac{r-q}{\overline{r}-\overline{q}}\overline{p}
$$
ここで，
から
なので，
であることなどを考慮すれば
$$
h-q r \overline{h} = p- {\frac{q r}{p}}
$$
となります．*1
についても同様に考えることで連立方程式
$$
{\displaystyle
\left\{
\begin{array}{l}
h-q r \overline{h} = p- {\frac{q r}{p}} \\
h-r p \overline{h} = q- {\frac{r p}{q}}
\end{array}
\right.
}
$$
が得られます．これを解くと，*2
$$
h=p+q+r
$$
となります．
以上の事実を使えば，
を
に置き換えることで，
が三角形
の垂心であることがわかります．
三角形DEFの垂心は三角形ABCの内心
お題が言ってるのは以下の図が成り立つということですが，
三角形の角度の関係
ここまでではD,E,Fを設定してきたのでA,B,Cを決定していきます．とりあえずAを決めればB,Cは対称性から証明できそうです．
ということでAの複素数をとりあえずzとおいて，
から，
$$
\left(\frac{-ab-(-ca)}{-bc-z}\right)+\overline{\left(\frac{-ab-(-ca)}{-bc-z}\right)}=0
$$
$$
\frac{-ab+ca}{-bc-z}+\frac{-\overline{a}\overline{b}+\overline{c}\overline{a}}{-\overline{b}\overline{c}-\overline{z}}=0
$$
$$
(-ab+ca)(-\overline{b}\overline{c}-\overline{z})+(-bc-z)(-\overline{a}\overline{b}+\overline{c}\overline{a})=0
$$
共役の関係からバーを取って
$$
(-ab+ca)\left(-\frac{1}{bc}-\frac{1}{z}\right)+(-bc-z)\left(-\frac{1}{ab}+\frac{1}{ca}\right)=0
$$
をかけて
$$
(-ab+ca)(-az-abc)+(-bc-z)(-cz+bz)=0
$$
これを整理すると
$$
z^2+(bc-a^2)z-a^2bc=0
$$
$$
(z-a^2)(z+bc)=0
$$
なので，
となって，
と分かりました．同様にして，
，
も分かります．
以上より証明が完了したということになります．
