ポタージュを垂れ流す。

マイペースこうしん

受験技術の供養

はじめに

個人的に興味を持ったりとかしてその分野を調べるとかして参考書には載ってないような技術とか知識で入試を切り抜けてきた面があるのかなあと思う。人によってこれは本質を理解してないから使うのはダメだとか言う人もいるかもしれないけど、個人の考えとしては、紙面から読み取れる内容に論理の不整合がなければ計算用スペースで飛び道具使うなりしてもいいじゃない、って考えを持っている。そういったものを今後使うかもしれないし使わないかもしれないけれど、大学の入試問題を解くという場面は塾講師とかしない限りもう来ないだろうし、忘れ去られてしまうのもなんだか寂しい気もするので、覚えている限りで箇条書き風?に書き記しておこうと思う。これはただの自己満足(というかこのブログ自体がそう)。

本題

数学系

名前ついてるやつはだいたい調べると出てくると思う。

スチュワートの定理

使用箇所:センター過去問、東大過去問など

三角形の頂点と内心間の距離

使用箇所:センター過去問 三角形の頂点と重心間の距離を表す式もあるが、使うことはなかった

有名不等式

2chの不等式への招待を眺めていた時期があったのでその時についでにいろいろまとめたりしてた。あんまり役立ってはない気がするけど面白いと思う。e^x\geqq1+xを使った相加平均相乗平均の証明とかけっこう面白いですよ。

対称式と交代式

あまり意識はしていないけどたまーにこのことを意識していると因数にこれが出るハズとかの見通しがよくなることがあった。

反転

ベクトルにせよ複素数にせよ単位ベクトルなり単位複素数(?)を作ると記述量が大幅に減る。

コンビネーションのシグマ計算と組合せ論

よくある話ではあるけど、シグマとn,kとかで書き表された式をうまくコンビネーションで書き直して順列の問題とかに落とし込むと日本語で説明して結果が書けて楽になったりする。微分積分することもあったりするよね。あとシグマのk^mみたいなやつはmの奇数偶数に応じて特定の因数で括れるのでそれを利用するとシグマのk^5とかk^6とかが比較的楽に求められたりする。

オイラーの公式 

e^xsinxとかの積分をするときにe^{(1+i)x}=e^x(cosx+isinx)を利用してその実部なり虚部なりを取って先に結果を求めておいて、それを解答のところに書いておいて、微分したら積分前に戻ることを示しておく。xe^xsinxとかの積分でも応用が効く。

三次方程式の判別式

使用箇所:河合センター演習、慶応過去問
覚えてても覚えていなくてもどうでもいいものだけど、知ってるとそのまま答えが出てきて楽だったりした。

複素数の直線とクラメルの公式

使用箇所:河合京大プレ
複素数の直線の一般形が\overline{\alpha} z+\alpha \overline{z}=\betaみたいに書けることを利用して(数オリの本に書いてあった)、2本の直線がこの形式で書き表せたなら、その交点を求めたいときz\overline{z}連立方程式と見て解けばいい。連立方程式を解くときに行列のクラメルの公式にぶち込めば何も考えずに答えが出せる(もちろんわざわざ行列を持ち出さなくても解ける)。ただ、こういう問題って幾何的に考えれば有名角が隠れていたりして式を振り回す必要がないことも多い。

漸化式

役に立った箇所:京大本試
けっこう調べまわった記憶があるし、本番でも大いに役立った。このお陰で受かったと言っても過言ではない。漸化式は微分方程式の離散版という感じなので、ちゃんと与えられた漸化式からはこのタイプの一般項しかない、といったことが分かるので、重ね合わせとかn=1のときの初期条件からa_n=(An+B){\alpha}^n+C{\beta}^nとかおいたやつのAとかBとかCのパラメーターを決めれば一般項が求まる。これで教科書等参考書で教わったことだけでは解けない漸化式も解けるようになった。 良いのか悪いのか分からないけど確率の問題で困ったらとりあえず漸化式に落とし込めないか考える癖もついたかも。

↑画像2枚目。

↑本当はもうちょっと効率いい書き方があったりする。

実数係数二次方程式が整数解をもつことはその判別式が平方数であるための必要条件

使用箇所:多くの整数問題、河合京大プレなど
範囲絞るのに困ったら大抵これで解決する。実数係数二次方程式の判別式を出して、その式を近い平方数で挟んでその数が平方数になり得ない、とか、この平方数にしかならない、とかでうまく活用できる。ただし、判別式の最高次数につく係数が平方数でないと使えない。

↑引用してから気づいたけどこれただ平方数挟んでるだけだったね

調和点列、カルノーの定理(メネラウスの定理の四面体版)などの有名(?)事実系統

役に立った箇所:Z会の直前演習、河合京大プレなど
たまーーに数学的事実をそのまま問題にしたやつが出てきて、誘導とか無視して解答が書けたりすることがあった。そのままでなくても、例えば、複素数で問題が書かれていたとしても、その事実の元が幾何のものであったら、幾何に翻訳すれば知ってることをそのまま書けたりとか。

↑ベクトルの問題をうまく幾何に翻訳した例

物理系

微分方程式

役に立った箇所:物理全般、特に電磁気
現役のときはあまりまともに微分方程式を解こうとはしていなかったが、解けるといろいろ楽なので物理の問題を解いていてよく出てくる形のものはある程度解けるようにした。慶応の入試のときに微分方程式で全部の関係式を立てておいたら文の誘導がその通りに書いてあったのでスムーズに解答ができたりした。

微分は一次近似

使用箇所:京大実戦など
一次近似ってのはf(x+\Delta x)\simeq  f(x) +f'(x)\Delta xつまりはf(x+\Delta x)-  f(x) \simeq f'(x)\Delta x、つまりは\frac{f(x+\Delta x)-  f(x)}{\Delta x} \simeq f'(x)なので、問題文に一次近似の説明がこの形(たいていは二番目の場合が多い)で書いてあったら与えられた式を黙って微分したもの(に\Delta xをかけたもの)を書いておけば穴が埋まる。わざわざ長い計算をする必要がなくなるので時短にもなるし、計算ミスも減る。

三角関数の合成をベクトルから見る

正弦、余弦同士の合成のとき、2本のベクトルの和の一成分方向への射影がその合成の和になっていることを利用する(この日本語の説明わかりにくい!)。

化学系

開平法

使用箇所:主に電離平衡など
溶液のモル濃度出したりするときにルートが出てきてそのルートを取るのに誘導の1.41とかわざわざ掛けたりするのが鬱陶しい!という時には誘導を無視してルートを開いて四捨五入とかして答えを出したりした。慣れれば出てきた式によってはこの方が早い。

正四面体の中心角の余弦はマイナス3分の1

使用箇所:化学結晶のなんか
結晶の辺の長さとか求めるのに三平方の定理とか使ってもいいけど、余弦定理使うとわかりやすかったりすることもあった。

外積とかベータ関数とかはよくある話なので省略しました。なんか思い出したら追記するかも?