twitter見てたら数学の記事を書くとどうのこうの...という話題があり、1つだけ書けるネタがあるなあと思ったので書いてみる。
自分が使ってるかどうかは別として知っている積分技法的なものを4つ紹介する。
場の量子論とかで使われるらしい積分技法。twitterでたまに見る。Schwinger parametrization - Wikipedia
Schwinger trick
$$
\frac{1}{A^n}=\frac{1}{(n-1)!}\int_0^\infty u^{n-1}e^{-{u}{A}} du
$$
特に$n=1$の場合は
$$
\frac{1}{A}=\int_0^\infty e^{-{u}A} du
$$
となる。
$A$はなにかしらの関数。
例題
$$
\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}
$$
$$
\begin{align}
\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx
&=\mathrm{Im}\int_0^\infty \frac{e^{ix}}{x}dx \\
&=\mathrm{Im}\int_0^\infty \int_0^\infty e^{ix} e^{-ux} dudx \\
&=\mathrm{Im}\int_0^\infty \left[\frac{e^{-(u-i)x}}{-(u-i)}\right]_{x=0}^{x=\infty} du \\
&=\mathrm{Im}\int_0^\infty \frac{1}{u-i} du \\
&=\mathrm{Im}\int_0^\infty \frac{u+i}{u^2+1} du \\
&=\int_0^\infty \frac{1}{u^2+1} du \\
&=[\tan^{-1} u]_{u=0}^{u=\infty} \\
&=\frac{\pi}{2}
\end{align}
$$
$$
\tag*{$\blacksquare$}
$$
Maz identity
ラプラス変換を知ってると楽にできたりするらしい。Laplace transform - Wikipedia
Maz identity
$$
\int_0^\alpha f(t)g(t)dt=\int_0^\alpha\mathcal{L}[f](s)\mathcal{L}^{-1}[g](s)ds
$$
例題
$$
\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}
$$
$$
\begin{align}
\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx
&=\int_0^\infty \mathcal{L}[\sin x](y)\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{x}\right](y) dy\\
&=\int_0^\infty \frac{1}{y^2+1}\cdot 1 dy \\
&=\frac{\pi}{2}
\end{align}
$$
$$
\tag*{$\blacksquare$}
$$
Wick's theorem
こちらも場の量子論で使われたりする技法らしい。名前が正しいのか微妙だが次のリンクにならっておく。integration - reference for multidimensional gaussian integral - Mathematics Stack Exchange
Wick's theorem（の特定の場合）
$x\in\mathbb{R}^n$，$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$とすると
$$
\sqrt{\frac{\det A}{(2\pi)^n}}\int_{\mathbb{R}^n} x_ix_j\exp(-\frac{1}{2}x^\top Ax) d^nx=\frac{1}{2}(A_{ij}^{-1}+A_{ji}^{-1})
$$
となる。
より一般的な話は上のリンクを読んでもらえばいいと思うが、より一般には次の関係が成り立つらしい（あまり理解できなかったが、$f$を多項式に展開してみるとまあそうかな、という気になる）。
$$
I_J=\sqrt{\frac{\det A}{(2\pi)^n}}\int_{\mathbb{R}^n} \exp(-\frac{1}{2}x^\top Ax+J^\top x)f(x) d^nx
$$
と定めると
$$
\begin{align}
I_0&=\sqrt{\frac{\det A}{(2\pi)^n}}\int_{\mathbb{R}^n} \exp(-\frac{1}{2}x^\top Ax)f(x) d^nx\\
&=\left.f(\partial_J)\exp(-\frac{1}{2}J^\top A^{-1} J)\right|_{J=0}
\end{align}
$$
が成り立つ。ただし$A$は上の変形が意味をもつような正方で可逆な行列で、$J\in\mathbb{R}^n$はベクトル。
上の応用と説明を兼ねて平均$0$，分散共分散行列$Σ$の多変数ガウス分布について以下の関係が成り立つことを説明してみる。
例題
$n$次元ベクトル値の確率変数$X\sim \mathcal{N}(0,Σ)$について、$V[X]=E[XX^\top]=Σ$となる。つまり、
$$
\int_{\mathbb{R}^n} \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n\det Σ}}\exp\left(-\frac{1}{2}{x^\top}{Σ^{-1}}{x}\right) xx^\top d^nx=Σ
$$
が成り立つ。
まず$Z_J$を以下で定める：
$$
Z_J=\int_{\mathbb{R}^n}\exp\left(-\frac{1}{2}x^\top Σ^{-1}x+J^\top x\right)dx
$$
ここで、$x=y+ΣJ$なる変換を使うと
$$
\begin{align}
Z_J&=\int_{\mathbb{R}^n}\exp\left(-\frac{1}{2}x^\top Σ^{-1}x+J^\top x\right)dx \\
&=\int_{\mathbb{R}^n}\exp\left(-\frac{1}{2}(y+ΣJ)^\top Σ^{-1} (y+ΣJ)+J^\top (y+ΣJ)\right)dy \\
&=\int_{\mathbb{R}^n}\exp\left(-\frac{1}{2}y^\top Σ^{-1} y-J^\top y-\frac{1}{2}J^\top ΣJ+J^\top y+J^\top Σ J \right)dy \\
&=\int_{\mathbb{R}^n}\exp\left(-\frac{1}{2}y^\top Σ^{-1} y+\frac{1}{2}J^\top Σ J\right)dy \\
&=Z_0\exp\left(\frac{1}{2}J^\top Σ J\right)
\end{align}
$$
となる。さて、これを$J$の第$i,j$成分$J_i,J_j$で微分して$J=0$を代入することを考える。まず上の式の一番目の行を使うと
$$
\begin{align}
\left.\frac{\partial}{\partial J_i}\frac{\partial}{\partial J_j}Z_J\right|_{J=0}&=\left.\frac{\partial}{\partial J_i}\frac{\partial}{\partial J_j}\int_{\mathbb{R}^n}\exp\left(-\frac{1}{2}x^\top Σ^{-1}x+J^\top x\right)dx\right|_{J=0} \\
&=\left.\int_{\mathbb{R}^n}\exp\left(-\frac{1}{2}x^\top Σ^{-1}x+J^\top x\right) x_ix_jdx\right|_{J=0} \\
&=\int_{\mathbb{R}^n}\exp\left(-\frac{1}{2}x^\top Σ^{-1} x\right) x_ix_jdx
\end{align}
$$
次に一番下の行を使うと、
$$
\begin{align}
\left.\frac{\partial}{\partial J_i}\frac{\partial}{\partial J_j}Z_J\right|_{J=0}&=\left.\frac{\partial}{\partial J_i}\frac{\partial}{\partial J_j} Z_0\exp\left(\frac{1}{2}J^\top Σ J\right)\right|_{J=0}\\
&=Z_0\frac{\partial}{\partial J_i}\frac{\partial}{\partial J_j}\left(\frac{1}{2}J^\top ΣJ\right)\\
&=\frac{1}{2}Z_0(Σ_{ij}+Σ_{ji})\\
&=Z_0Σ_{ij}
\end{align}
$$
となる。ただし2行目について$\exp$を展開した時に$J_i,J_j$で微分して$J=0$を代入した時に残るのは$J$の2次式以下の部分だけであることに注意。
$Z_0=\sqrt{(2 \pi )^{n}\det Σ}$
なので、これら2つを比較すると
$$
\int_{\mathbb{R}^n} \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n\det Σ}}\exp\left(-\frac{1}{2}{x^\top}{Σ^{-1}}{x}\right) x_ix_j d^nx=Σ_{ij}
$$
となることがわかる。これをすべての$i,j$について考えることで
$$
\int_{\mathbb{R}^n} \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n\det Σ}}\exp\left(-\frac{1}{2}{x^\top}{Σ^{-1}}{x}\right) xx^\top d^nx=Σ
$$
がわかる。
$$
\tag*{$\blacksquare$}
$$
確率分布の活用
確率分布やその期待値を利用して、その意味から積分値を求める方法。確率分布の性質を知っていればゴリゴリ計算しなくても確率論的な意味（？）を考えることで計算ができる。高校とかで何かの計算を順列とか場合の数の言葉に焼き直して解くのと似たようなものだと思う。
例題
$$
\int_{-\infty}^\infty |x|e^{-ax^2}dx=\frac{1}{a}
$$
この例だと直接計算した方が早いかもしれないが、考え方の例としてこの問題を確率分布を利用して解いてみることにする。
ここで使う確率分布の確率密度関数（の一般形）を並べておく。
*
ガウス分布$\mathcal{N}(μ,σ^{2})$：
$$
f_{\mathcal{N}(μ,σ^{2})}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi σ^{2}}}\exp\left(-\frac{(x-μ)^{2}}{2σ^{2}}\right)
$$
* ガンマ分布$\mathrm{Ga}(\alpha,\beta)$：
$$
f_{\mathrm{Ga}(\alpha,\beta)}(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta}\left(\frac{x}{\beta}\right)^{\alpha-1}e^{-\frac{x}{\beta}}
$$
* 自由度nのカイ2乗分布$\chi(n)$（ガンマ分布で$\alpha=\frac{n}{2},\beta=2$としたもの）：
$$
f_{\chi(n)}(x)=\frac{1}{\Gamma(\frac{n}{2})2}\left(\frac{x}{2}\right)^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}
$$
* 母数$\lambda$の指数分布$\mathrm{Ex}(\lambda)$（ガンマ分布で$\alpha=1,\beta=\frac{1}{\lambda}$としたもの）：
$$
f_{\mathrm{Ex}(\lambda)}(x)=\lambda e^{-\lambda x}
$$
さて、これらを使って元の積分値を求めてみる。
$$
e^{-ax^{2}}=\sqrt{\frac{\pi }{a}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2 \pi (2a)^{-1}}}\exp\left(-\frac{x^{2}}{2\cdot (2a)^{-1}}\right)\sim \sqrt{\frac{\pi }{a}}\cdot\mathcal{N}(0,(2a)^{-1})
$$
なので、$\mathcal{N}(0,(2a)^{-1})$で$|X|$についての期待値を考えて
$$
\int_{-\infty}^\infty |x|e^{-ax^2}dx=\sqrt{\frac{\pi }{a}}E[|X|]
$$
が成り立つ。ここで、$Y=2aX^{2}$を考えると、$Y$は自由度1のカイ2乗分布$\chi(1)$に従う確率変数*1。つまり、その確率密度関数は
$$
f_{\chi(1)}(y)=\frac{1}{\Gamma(\frac{1}{2})2}\left(\frac{y}{2}\right)^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{y}{2}}=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{y}{2}}
$$
となる。この$Y$を使うと
$$
\sqrt{\frac{\pi }{a}}E[|X|]=\sqrt{\frac{\pi }{a}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2a}}E[\sqrt{2aX^2}]=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{a}E[\sqrt{Y}]
$$
と変形できる。ここで$E[\sqrt{Y}]$を計算するわけだが、$\chi(1)$の確率密度関数に注目すると、この期待値計算をするときに$\sqrt{y}=y^{\frac{1}{2}}$と$\chi(1)$の確率密度関数の$y^{-\frac{1}{2}}$が打ち消し合うことがわかる。さらに、$\chi(1)$の確率密度関数に含まれる$\frac{1}{2}e^{-\frac{y}{2}}$というのは$\lambda=\frac{1}{2}$の指数分布の確率密度関数なので、この部分について積分を実行すれば、確率密度関数が規格化されていることからその値は1となる。したがって、これらの観察によって
$$
\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{a}E[\sqrt{Y}]=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{a}\cdot\sqrt{\frac{2}{\pi}}=\frac{1}{a}
$$
であることがわかる。よって
$$
\int_{-\infty}^\infty |x|e^{-ax^2}dx=\frac{1}{a}
$$
がわかった。
$$
\tag*{$\blacksquare$}
$$
