ポタージュを垂れ流す。

マイペースこうしん

適当に起きてツイッターみてピアノひいて本読んでゲームして寝る生活最高なんじゃ〜^
でも僕は勉強熱心なので今日は数学のお勉強をするぞ!

i虚数単位とする。(1+i)^n+(1-i)^n>10^{10}を満たす最小の正の整数nを求めよ。

2019京大(理系)[6]

うわなんだこの難しいもんだい!難しすぎるからパソコンに丸投げするぞ!

count = 0
while True:
    count += 1
    x = (1+1j)**count+(1-1j)**count
    if x.imag == 0 and x.real > 10**10:
        print("n="+str(count))
        break

なかなか複素数を使うことない気がするけどpython複素数型があるんだね、という知見を得た(虚数単位はjであることに注意)。このプログラムを走らせると

n=71

が表示されます!やったね!正解だよ!常用対数表なんていらないね!

受験技術の供養

はじめに

個人的に興味を持ったりとかしてその分野を調べるとかして参考書には載ってないような技術とか知識で入試を切り抜けてきた面があるのかなあと思う。人によってこれは本質を理解してないから使うのはダメだとか言う人もいるかもしれないけど、個人の考えとしては、紙面から読み取れる内容に論理の不整合がなければ計算用スペースで飛び道具使うなりしてもいいじゃない、って考えを持っている。そういったものを今後使うかもしれないし使わないかもしれないけれど、大学の入試問題を解くという場面は塾講師とかしない限りもう来ないだろうし、忘れ去られてしまうのもなんだか寂しい気もするので、覚えている限りで箇条書き風?に書き記しておこうと思う。これはただの自己満足(というかこのブログ自体がそう)。

本題

数学系

名前ついてるやつはだいたい調べると出てくると思う。

スチュワートの定理

使用箇所:センター過去問、東大過去問など

三角形の頂点と内心間の距離

使用箇所:センター過去問 三角形の頂点と重心間の距離を表す式もあるが、使うことはなかった

有名不等式

2chの不等式への招待を眺めていた時期があったのでその時についでにいろいろまとめたりしてた。あんまり役立ってはない気がするけど面白いと思う。e^x\geqq1+xを使った相加平均相乗平均の証明とかけっこう面白いですよ。

対称式と交代式

あまり意識はしていないけどたまーにこのことを意識していると因数にこれが出るハズとかの見通しがよくなることがあった。

反転

ベクトルにせよ複素数にせよ単位ベクトルなり単位複素数(?)を作ると記述量が大幅に減る。

コンビネーションのシグマ計算と組合せ論

よくある話ではあるけど、シグマとn,kとかで書き表された式をうまくコンビネーションで書き直して順列の問題とかに落とし込むと日本語で説明して結果が書けて楽になったりする。微分積分することもあったりするよね。あとシグマのk^mみたいなやつはmの奇数偶数に応じて特定の因数で括れるのでそれを利用するとシグマのk^5とかk^6とかが比較的楽に求められたりする。

オイラーの公式 

e^xsinxとかの積分をするときにe^{(1+i)x}=e^x(cosx+isinx)を利用してその実部なり虚部なりを取って先に結果を求めておいて、それを解答のところに書いておいて、微分したら積分前に戻ることを示しておく。xe^xsinxとかの積分でも応用が効く。

三次方程式の判別式

使用箇所:河合センター演習、慶応過去問
覚えてても覚えていなくてもどうでもいいものだけど、知ってるとそのまま答えが出てきて楽だったりした。

複素数の直線とクラメルの公式

使用箇所:河合京大プレ
複素数の直線の一般形が\overline{\alpha} z+\alpha \overline{z}=\betaみたいに書けることを利用して(数オリの本に書いてあった)、2本の直線がこの形式で書き表せたなら、その交点を求めたいときz\overline{z}連立方程式と見て解けばいい。連立方程式を解くときに行列のクラメルの公式にぶち込めば何も考えずに答えが出せる(もちろんわざわざ行列を持ち出さなくても解ける)。ただ、こういう問題って幾何的に考えれば有名角が隠れていたりして式を振り回す必要がないことも多い。

漸化式

役に立った箇所:京大本試
けっこう調べまわった記憶があるし、本番でも大いに役立った。このお陰で受かったと言っても過言ではない。漸化式は微分方程式の離散版という感じなので、ちゃんと与えられた漸化式からはこのタイプの一般項しかない、といったことが分かるので、重ね合わせとかn=1のときの初期条件からa_n=(An+B){\alpha}^n+C{\beta}^nとかおいたやつのAとかBとかCのパラメーターを決めれば一般項が求まる。これで教科書等参考書で教わったことだけでは解けない漸化式も解けるようになった。 良いのか悪いのか分からないけど確率の問題で困ったらとりあえず漸化式に落とし込めないか考える癖もついたかも。

↑画像2枚目。

↑本当はもうちょっと効率いい書き方があったりする。

実数係数二次方程式が整数解をもつことはその判別式が平方数であるための必要条件

使用箇所:多くの整数問題、河合京大プレなど
範囲絞るのに困ったら大抵これで解決する。実数係数二次方程式の判別式を出して、その式を近い平方数で挟んでその数が平方数になり得ない、とか、この平方数にしかならない、とかでうまく活用できる。ただし、判別式の最高次数につく係数が平方数でないと使えない。

↑引用してから気づいたけどこれただ平方数挟んでるだけだったね

調和点列、カルノーの定理(メネラウスの定理の四面体版)などの有名(?)事実系統

役に立った箇所:Z会の直前演習、河合京大プレなど
たまーーに数学的事実をそのまま問題にしたやつが出てきて、誘導とか無視して解答が書けたりすることがあった。そのままでなくても、例えば、複素数で問題が書かれていたとしても、その事実の元が幾何のものであったら、幾何に翻訳すれば知ってることをそのまま書けたりとか。

↑ベクトルの問題をうまく幾何に翻訳した例

物理系

微分方程式

役に立った箇所:物理全般、特に電磁気
現役のときはあまりまともに微分方程式を解こうとはしていなかったが、解けるといろいろ楽なので物理の問題を解いていてよく出てくる形のものはある程度解けるようにした。慶応の入試のときに微分方程式で全部の関係式を立てておいたら文の誘導がその通りに書いてあったのでスムーズに解答ができたりした。

微分は一次近似

使用箇所:京大実戦など
一次近似ってのはf(x+\Delta x)\simeq  f(x) +f'(x)\Delta xつまりはf(x+\Delta x)-  f(x) \simeq f'(x)\Delta x、つまりは\frac{f(x+\Delta x)-  f(x)}{\Delta x} \simeq f'(x)なので、問題文に一次近似の説明がこの形(たいていは二番目の場合が多い)で書いてあったら与えられた式を黙って微分したもの(に\Delta xをかけたもの)を書いておけば穴が埋まる。わざわざ長い計算をする必要がなくなるので時短にもなるし、計算ミスも減る。

三角関数の合成をベクトルから見る

正弦、余弦同士の合成のとき、2本のベクトルの和の一成分方向への射影がその合成の和になっていることを利用する(この日本語の説明わかりにくい!)。

化学系

開平法

使用箇所:主に電離平衡など
溶液のモル濃度出したりするときにルートが出てきてそのルートを取るのに誘導の1.41とかわざわざ掛けたりするのが鬱陶しい!という時には誘導を無視してルートを開いて四捨五入とかして答えを出したりした。慣れれば出てきた式によってはこの方が早い。

正四面体の中心角の余弦はマイナス3分の1

使用箇所:化学結晶のなんか
結晶の辺の長さとか求めるのに三平方の定理とか使ってもいいけど、余弦定理使うとわかりやすかったりすることもあった。

外積とかベータ関数とかはよくある話なので省略しました。なんか思い出したら追記するかも?

浪人体験記2

前回に引き続き。今回は周囲の人とか授業がどうとかそういう感想をつらつらと。

高校の同期たち

浪人することになった高校同期たちは、所謂進学校出身ということもあってか、レベルの高い人々が多かった。というか高すぎ、ガチプロ多すぎでしょ。京大の工学部志望だけで見れば、自分は冊子掲載2回だったが、同じクラスで一緒に授業を受けていた友人は4回掲載(うち1回は学科1位)、別のクラスで授業を受けていた友人も3回掲載(うち1回は工学部1位)みたいな感じで、いいライバルになった。

彼らは高校の頃からわりと自己流でここまできている(し、実際それなりの学力をつけている)ところが強いので、要らないと思ったらすぐに授業を切る。一緒のクラスになっていた友達は起きれんかった〜とか言ってよく昼から来ていた。(この人の場合自習をしているわけではなく寝てるわけでこれはこれでどうかとは思うが、成績がいいので何も言えないしムカついたが。)個人的には授業を切ることは悪いことだとは思わないのだが、僕はすぐに常識、規範のようなものに縛られてしまうので、授業が切りたいなーと思っても出ないと後悔する気がして出てしまう。そしてやっぱり聞かなくてもよかったなーなんて思ったりしていた。そのお気楽な感じの性格欲しかったなあ。

また、浪人してる人数もそこそこ多い(東大京大はそこまででもないが、医学部はたくさん)ので良くも悪くもすぐに溜まって喋り出す。まあよく喋る分ストレスはたまりづらいのでいいのかもしれないが。

通期授業について

授業の感想とか。

数学

前期テキストは入試標準レベルくらいだと思われる問題がほとんどで、正直いって引っかかるような問題はほとんどなかったので、確実な実力がついていたことは確認できた。地方医学部志望の友人曰く、入試問題よりこのテキストの方が難しいらしい。

後期テキストはきっと差のつく問題とか難しめの問題を中心に構成したんだろうなーっていう感じのテキストになっていて、正直最近の京大にここまでのレベルは要らないかもな〜って思った。

テキストの構成としては、前期は「①、②、③、④、演習」後期は「①、②、③、微積演習(以下便宜上④とする)、京大理系数学」となっていて、僕の所属コースの場合、担当講師は3人(担当は、①③、②④、通し番号なし)だった。個人的に①〜④はあまり面白くない、というか普通の授業展開(わかりやすい授業だったので別に悪いところはない)。解答をもらうだけでもよかったかもしれない。一方で通し番号のついてないテキストを担当していた先生がなかなかトリッキーな解き方をするので好きだった。その上時間が余るとなかなか面白い話をしてくれるのでとてもよかった。というかこの人の授業(金曜日にあった)を受けるのがモチベになって1週間生きるぞという気持ちになれた。ただ多分こういうのに興味がないと意味わかんねーなこの人みたいな感じで終わるのかな〜とクラスの人たちの反応を見てて思った。

たまにゼミが入って授業で扱ったことを掘り下げたりまた別のことを補充してくれたりしたのだが(これは通し番号付きテキスト担当の講師による授業)こっちの方は通常授業よりは面白かったかなと思う。テストゼミの時は大抵は全問正解で切り抜けた。

物理

2人の講師が担当。

現役時代は東進で苑田先生の授業を取っていたのに加え、高校では大学助教授(ポスドク?)だったのに高校教員になったガチ物理学者の授業を受けていたので、所謂微積物理というものしか知らなかった。ので、微積を使わない物理というものを浪人して初めて経験した。はじめの方の授業でエネルギー保存則の導出がどうとか言うので運動方程式に速度を掛けて時刻で積分するのかと思っていたら、なんかいろいろ代入やら式変形してそういう形にしてたので文部省はこっちを推奨していっているのか〜などと思った。正直授業はあまりためにならなかったと思う。解答さえもらえればよかったかな。まあその解答をもらう(というか書き写す)ために90分黙ってイスに座って機械のようにノートに書き写すのですが。後期なんかは友人が別の授業に潜りに行ってそっちで解答のプリントを貰ってきてたので正直出る意味はなかった。

土日にゼミを入れられることがあったが、時間を縛られる割に特になることはあまり得られなかったな。ベルトコンベヤーが絡む問題の話は役に立ったかも。ただ去年河合塾を無事に卒業して後輩にアドバイスみたいな感じで喋ってた人は絶賛してたので人によるかも。

化学

こちらも2人の講師が担当。どちらも好きだったが、片方は授業が分かりやすいから(以下①)、もう片方はその人柄とかキャラクター的に(以下②)。①の方は様々な計算テクニックとかを教わることができたのでとても意義があった。②の方は授業を受けて学力をつけるという意味では出席する意義は薄かったかもしれないが、たまーに気づかせてくれるようなことを言うのでまあ出ててよかったといえばよかったのかもしれない。でも別のクラスで余ってた解答のプリント持ってってたし出なくてもよかったかも。

こちらも土日にゼミを入れられることがあった。正直こちらはためにならなかったかなあ。

英語

担当講師は3人(英作文、英文解釈英文読解、英文法と京大英語)

英作文はしっかりシステマティックに教えていただけたので意義があったように思える。入試に役立ったかという目に見える実感はないが、きっと力がついていたことだろう。

英文解釈英文読解(和文英訳中心)の授業はかなり硬派な授業で細かいところまで見ることができるようになった?のかもしれないが正直実感はない。高校のオリジナルテキストでこういったタイプの和文英訳は散々やってきたから、というのもあったかもしれない。勉強の計画とかよく喋っていたので参考にはなった。

英文法の授業は正直答えだけもらえればよかったような気はするが、講師の人柄が好きだったのでまあ出ててよかったのかな。

京大英文解釈という名前の授業が後期に入ってくるが、こちらは英文法担当の講師が担当。京大の過去問とかオープンの過去問とか東大のムズい下線部訳とかをやった。講師も好きだし内容も入試直結だし大いに意義ありだった。

こちらもゼミが入れられることがあった。

国語

ちゃんと授業受ければ点数が上がるかな〜とか思っていたがそんなことはなかった。きっと授業受けて予習さえしていれば現状維持はできるんじゃない?というところ。

漢文の先生の人柄が好きだった。

地理

なんと、高校で授業を受け持っている先生がこっちでも教えている。しかもテキスト作成担当してるし。僕は高校でこの先生の授業を受けたことはなかったが、潜って受けに来た友人曰く高校とノリは同じらしい。面白かったが多分出る必要はなかった。なお受講者数が30人くらいでだいぶ少なかった。

 

 

こんな感じでしょうかね、なんか書き忘れてる気がするけど、またその時は追記します。

次回はこの一年で成長した、というか身につけた技術的なもの(主に数学とか、飛んだ解き方が増えたので)とかを備忘録として残しておこうかなあと思います。

浪人体験記1

はじめに

やっと受かりました、1年長かったけど内容スッカスカだったなーという浪人体験でも供養しておこうと思う。

書いてたら長くなった(全文8000文字くらい)のでとりあえず時系列順のやつをここに、環境とかの話は次にしようかなーと思う。

所謂進学校出身の体験記みたいなのが少なかったので参考になればいいな〜なんて思ったり思わなかったりもする。

1年のおおまかな流れ

3月

京大に落ち浪人が決まる。

悔しみの深み。志望大別クラスになっているということで河合塾行き(名駅校)が決定。

私の母校の東海高校は成績別で成績がいい方がA群(理系3クラス、文系1クラス)、そうでない方がB群(理系5クラス、文系2クラス)という分け方がされていた。私は理系A群で、私のクラスは医学部志望が35人、東大志望が8人、京大志望が5人みたいな感じだった記憶がある。このうち浪人したのが15人、内訳は東大3人、京大1人(自分だけ)、残りは医学部、という感じだった。

京大についてだけ言えば、理系A群内では3人が浪人し(みんな工学部志望)、2人が情報学科志望(自分と、もう1人は第二志望学科を書かなかったために落ちたので何か他学科を書いていれば京大生にはなっていた、河合塾名駅校在籍)で、1人が物理工学科志望(後に浪人時は総人理系で受験、合格していることが判明、宅浪)という感じだった。

とりあえず何もやらないのもアレだと思い、一対一対応の演習1A2Bとスタンダード演習(数3)を春休み中にやった。なお、現役時に過去問で平均4〜5完くらいの力はついていたので特に引っかかる要素もなかった。

自分の弱点は本番にバカみたいに弱いところ、と計算ミスとか問題文の読み飛ばしみたいなそういうくだらないところ(くだらないが実際これでだいぶ点を落としているのでミスでは済まないものになっていた)、かな〜と感じたので緊張して頭が回らなくなる分を相殺する実力をつけられればいいかな、という方向性が決まった。

あとはできるだけ成績の安定性が欲しいなーとかも思ったりした。

それと英語に苦手意識があるのでそれは全部河合塾のカリキュラムに丸投げした。

4月〜7月

正直よく覚えていないw

授業が始まり、予習と復習をひたすらに繰り返す日々。つまらないのでネットで数学の問題を探し回って解いたりしていた。あとは問題で興味湧いたことに考察加えたりしてた。まあこのブログのアーカイブとかその時期のtwitterの画像欄見れば何やってたかはなんとなくわかる。

7月〜8月(夏休み)

夏休みの計画

河合塾のテキストの復習をしてから別の教材もやっていこうというスタンスで計画をたてた。

数学:数学の前期の通期テキストは基本的な問題がほとんどなので1日1冊くらいのペースではじめの方に1回やって特に引っかかるところもなかったのでそれで終わり。何にもやらないのもアレだし、と思ってやさ理を購入するも3日で飽きる。入試数学の掌握も買ったが途中まで適当に読んだだけで一度も解かなかった。

物理:通期の前期テキストは簡単すぎるので2、3日くらいの期間で1回解き直したくらいで復習をやめた。ハイパー東大理類の友人に物理の自習用テキスト(私の崇拝している苑田尚之が作成している)を借りてそればっかり解いていた。ただしこれをやる欠点としては電磁気と原子の問題が入ってないこと(ハイパー東大理類コースのカリキュラムが前期で力学熱力学波動完成、後期が電磁気原子完成、という風に分割されてた。一方でここ以外のコースは前期に全範囲、後期にも全範囲やる。)だったので適宜重要問題集とか現役の時に使ってた東進の苑田先生の担当してる授業のテキストをやったりしていた。

化学:通期の前期テキストばっかり解いてた。あとは自作の高分子テキストがあったのでそれの知識を忘れないようにはしてた。無機は放置。

英語:特に力をいれたつもり。玉置先生が授業を担当してるので参考にしてみようと思いあの人の言う計画をそこそこに取り入れた。7月中と8月始めは通期の前期テキストを復習して、そのあとはやっておきたい700を1日2題と通塾時とかに早稲田とか同志社の英語の赤本の長文のとこを毎日3、4題くらいやってた。これだけやった後にはだいぶ英語が読みやすくなったように感じた。あとは高校のオリジナルの英作文のテキストをひたすらやってたのと、DUOを読んだり聴いたりしてた。

国語:

現代文:通期の授業の復習でノートを作って板書のまとめ直しなど。ただ自分には全部ムダだったように思える。あとは現役の時に東進のチューターにオススメされた上級現代文という参考書をたまーにやったりした。

古文:通期のテキストの復習。とりあえず解きまくる。あとは古文単語を時々。ただし単語は全く頭に入らなかった。

漢文:通期のテキストの復習。サブテキスト(重要構文とか重要な漢字とかがまとまってるテキスト)を度々読んでた。頭には入ってこなかったので意味があったかは微妙。

 

夏期講習は京大化学と数学のよくわからんやつをとった。意味があったかは不明だが数学のよくわからんやつのおかげでオープンの問題が1問多く解けたので意味はあったかもしれない。

冠模試

冠模試がやってきた。オープンも実戦もどちらも冊子掲載を狙っていきたいところ。

 

オープン(所感):数学がほぼ6完近かった、つもりだったが計算ミスでボロボロ落としててけっこう落ち込んだ。他はわりといけたし冊子は載りそう。

実戦(所感):数学がポンコツ。2完くらい?完答しかけて計算ミスに気づかずに全消しなどの過ちをしてしまう。理科もなんかムズくない?w

 

実戦は微妙だったが河合マークも9割をきっちり超えていたしまあまずまずな感じ。

おかげで河合塾スカラシップで5万円貰えた。やったね!

 

オープン(結果):

 実戦(結果):B判定

9月〜12月

勉強のしかた的な

センターも迫ってくるとアレなのでテキストの予習復習をしつつそれに加えて補強もいれていった。授業くらい好きに切ればよかったのに規範に縛られがちなので無理やり出席、メンタルが死んでいった。

数学:予習をガンガン進めるだけ進めて放置。復習は京大理系数学のテキストだけはやった(その先生の解法が好きなので)。他は解答読むだけで復習は以後全くしなかった。流石に後期テキストともなると難しいが大抵は1講4問のうち3問くらい解けていた気がする。

物理:後期のテキストは適度な難易度なのできっちり利用させてもらおうと思って予習をガンガンしていった。あとはハイパー東大理類の友人から後期の自習用テキストを借りて電磁気と原子を演習していった。

化学:テキストが途中から総合問題的な感じになるのでそれまでは前期のように予習復習、それ以後は予習だけであまり復習はしなかった。これに平行してオープン前までは無機を覚えた後新演習の高分子をやった。オープン後に京大の化学25か年の理論だけ3周して実戦に臨んだ。有機は放置。

英語:ひたすら授業の予習復習。それに加え友人が過去問採点し合おうぜ〜みたいなのに誘ってくれたので週2くらいで過去問(ただし京大の過去問をやった時英文和訳はやらなかった)とか他の大学の問題とか解いて採点し合った。単語帳はターゲットメインで飽きたらDUOをやっていた。

国語:予習して授業聴いて放置。

模試

このあたりから模試が不振になる、ただしオープンはうまくいく。

マーク模試が8割しか取れない病気にかかる。夏まで取れていた分いくら難易度が多少上がってたとしても精神的につらくなる。最後のマークが取れなすぎて全てが嫌になって授業に出るのを止めた(後期の最後の最後の12月頭で初めて授業を切った、3日で鬱は治った)。

 

オープン(所感):5分遅刻。こいつはアホか?しかし数学5完半で満足、特に計算ミスも読み間違いもなかった、遅刻してなかったら6完目指せたかも?ただそれ以外が微妙というかひどく、物理が全ての大問で雪崩、化学もようわからん。つらみを感じる。

実戦(所感):数学0完。こんなにも分からんことなんてあんのか、直前に河合のテキストでやった似た問題設定の問題の記憶で惑わされて失敗。物化は7割はありそうな出来。

 

オープン(結果):学科内高卒1位を獲得。全体でも3位くらいだった。数学の暴力。

英語:91/150;数学:178/200;国語:42/100;物理:44/100;化学:52/100

総合:407/650;偏差値74.1;受験者順位87/5111

実戦(結果):C判定。残当

英語:89/150;数学:52/200;国語17/100;物理:75/100;化学:65/100

 

結局1年やって成績が安定しなかった、とても怖い。

12月〜1月(冬休み〜センター)

11月の下旬から12月の上旬あたりまで

演習形式の授業になって予習が不要になるのでそこで消化不良だったものを片付けた、気がするのだが気分が落ち込んでいたのでよく覚えていない。多分ここらへんで初めて地理をさわる。高校の授業プリントと河合のテキストをひたすら読み続けてた気がする。

この時期の間は数学は友達に聞かれた問題とネットに転がってた気になった問題、あと息抜きにセンター数学をちょいちょい、くらいしかやらなかった。 

12月15日くらいまで

だんだん生活習慣が良くも悪くも崩れて8〜10時起き1〜2時寝になる。これまで6時起き1時〜3時寝が定着してて体が壊れかけてたのでまあよかったのかもしれない。

物理の通期テキストの復習、無機化学の詰め込みのために通期テキストを解いたり高校のテキストを読んだり。

地理は問題を解きまくって感覚を慣らした。1日3セットくらい?

英語は通期の文法テキストの復習。だいぶ難しいので1回全部解き直して放置した気がする。あとは単語とか熟語とか。

国語は古文単語を1時間くらい。とにかくこれだけはやっておこうと思ったので。

クリスマスあたりまで

理系科目をほとんどやらなくなる。地理を解きまくる。古文の後期の授業の復習(センター型問題をひたすら解く)をバリバリやる。古文単語を起きてから1、2時間くらい読み続ける。漢文はほとんど復習しなかった。センター国語の過去問をちょくちょくはさみ始める。英語をやらなくなる。

年末まで

京大英語の冬季講習をぶち込んでたのでそこで二次ボケ解消できるかなーと思ったけど先生が私には合わなかったのでうまく活用できず。国語の過去問と地理の過去問。センター英語対策はここでやった。

年明けからセンター前まで

年明けすぐは化学でもやるか〜ってことで高校で現役の時にもらってたセンター化学難問集なるもの(センター化学の正答率50%以下の問題を集めたもの)をやった。基本的には地理と古文メイン。古文単語は相変わらず毎日1時間はやった。地理の統計を単語カードにしてひたすら覚えてた。

桃パック、センタープレともに800くらいとれたし順調にみえた。

直前になると物理もやろうということで残り10日くらいからはじめた。化学の過去問もここで一緒にやった。英語の過去問もここらへんでやる。190くらいで安定してたので今年はイケるな〜というノリだった。

センター試験

こんだけ文系科目対策すればいけるやろ!と思って臨んだ1日目。

地理(所感):なんか解きづらい。微妙い。

国語(所感):現代文微妙だけど古漢はわりといけた。(普段は現代文8割安定、古漢で落とす、みたいな感じだった)

英語(所感):なんとかなってる気がするけどうまく行ってるといいなー。

帰宅、自己採点。

地理:83;国語:145(現59/古40/漢46);英語:(筆)167+(リス)38

換算得点:160.25/200

あっ...現役の時より点数が悪い...

1か月のセンター集中型の勉強が無駄になった瞬間であった...

2日目はまあ普通(?)にやって理系科目については9割は切らなかった

結局合計で760/900くらいで終了。あーあ。

2日目終わってから腹いせに2018年の京大数学を90分で6完するゲームをした。やった科目で点がついてこないのはクソだ。

センター試験後〜二次試験

センターがうまくいかなかったのでやる気が限りなくゼロに近づく。

でもやらないといけないものはやらないといけないので英語と理科はやることにした。数学は3年分くらいやったが意味がないと判断してやめた。25か年もここで初めて開いたことには開いたが3割くらい読んで解かなかった。以後数学はネットに転がってた気になった問題と友達から質問が飛んできた問題と同志社1年分、慶応の過去問3年分くらいしかやらなかった。

理科を3時間測ってやってみると、現役時代あんなに時間が足りなくて苦しんでたのに平均して30分余るようになってて成長を実感。年によるが1時間余ることもあった。だいたい9割くらいは取れてたので本番に焦って大問1、2個吹き飛ばしてもなんとかなるようにはなったなーと実感。化学25か年の有機高分子をここで1周しておいた。理論は何もやらなかった。物理25か年は慶応終わってからくらい?から1日10〜20問くらいで4日くらいで1995年のまでやった。6割くらい全問正解だしまあわるくないかなというところ。

英語は前期のテキスト(英文和訳のやつ)の復習をパーっとした後、高校の英作文のテキストとクソ難しい英文和訳のテキスト(こちらも高校オリジナルのもの)をひたすらやった。途中で河合の通期の京大英作文の復習もちょっとはしたがあまり意味はなかったかもしれない。説明問題がまるでダメなので一橋の過去問をやったがあまり効果はなかった。あとは友達がオープンの過去問を一緒にやって採点し合ったりしようと誘ってくれたのでそれはやるようにした。Z会の直前予想添削みたいなやつもやった。友達と採点し合うやつもZ会のもだいたい110/150くらいは取れてたので力はついてきていたみたい。過去問は直前にやるつもりで残してた直近2、3年分くらいはやるつもりだったが結局やらなかった。

国語は何もしなかった。

河合の直前にやる京大プレもまあ610/1000くらいだったし悪くなさそうという感じだった。

同志社・慶応入試

同志社は難なくこなしたが過去問より難しくてえぇ...って感じだった。ドン引いた。

慶応は気分転換みたいなノリで行った。数学が30分余ったので合格を確信した。物理の出題ミスはひどいと思いました。慶応のチャイム好き。

京大入試

1年待ってたぞこの2日間を、という感じでリベンジ。

1日目

国語:まあよくわからんけど30点はあるやろ、という感じ。再現答案中に気づいたけど古文の和歌の訳って全部じゃなくて途中までだったんだね。

数学:東京出版のマネがしたいのでさせていただく。

緊張するけど今年はうまくやるぞ,と気合いを入れていると問題が配られる(-10分).常用対数表?!なんか2008年も似たようなことがあった気がするな?!などと思っていると試験開始.

傾向変わってるやん!しかも配点が1997年以来のタイプじゃないか!まあとりあえず順番に触っていこう.①めっちゃ基本問題.②去年に引き続きのタイプじゃん〜こういうの時間食われて苦手なんだよな〜.③問題文がよく読めない.曲線を図示するのもしないとダメなのか?④確率漸化式が来ると思ってたのに違うじゃねえか,でもめっちゃ簡単?⑤チャートにありそう.⑥順番に触っていくのに時間が食い過ぎた,とりあえずよくわからんけど二項展開だけ計算用にしとこ(15分).さて①からやっていこう.必要から十分とか言っておいて,積分して,なんか見覚えある答え出てきたし合ってそう.難なく完答(35分).②へ.偶奇でやるやつやな,それっぽく因数分解とかしてみる.答えは2個やろ,とアテをつけて解答を書いているとまだ答えがあることに気づきやり直し.3個かな?違いました.当てるんじゃなくてちゃんと偶奇で場合分けしていこう.無駄に冗長な解答になるも何とか完答(70分).やばいな,時間を使いすぎた,と思いつつ③へ.やっぱり問題文が読めない.とりあえずベクトルでやってみると座標が欲しくなったので適当に導入.Pの座標を媒介変数tで表示できたのであとで戻ってこよう.④へ.簡単やん〜と思って解答を書き終わろうとしたところで勘違いに気づく.危ない.場合分けがたくさんあるじゃないか!なかなかきれいにできるものが思いつかないので⑤へ.わざわざ平面で切ったりして最大がどうとかやってちょっと遠回りだが完答.⑥は最後にやろう.③へ戻る.問題文が読めるようになった.面積だけ出せばいいのか.なら積分して終わりやな.完答(120分).やばい,時間がない,でももう1個は取っておきたいな,④か⑥かどっちか解いて終了だな,ここで④を解く決断をする.もうこうなったら漸化式に落とし込めないかな,とちょっと考えたら求める確率のXnが1〜4と5,6の場合で分けると漸化式が立てられることが判明.普通なら解けない連立漸化式が立ったがもうこれを解くしかない.漸化式の解を予想してなんとか答えまでたどり着くも,n=1とそれ以外で場合分けが必要なことに気づく(145分).ヤバイ,落ち着いてp1とか置いたところを全部p2にしたらつじつまが合った.なんとか完答(148分).もう⑥は捨てよう.パラッと全体を見てまあ多分計算ミスはしてないだろう,というところで終了(150分).

手応え的には

①○②○③○④○⑤○⑥×

だったが③で座標に置くときに範囲の設定を忘れてたので5点くらい引かれそうだ,という感じ.まあでも何にせようまくいってよかった〜.

 

2日目

英語:説明問題が全然書けんのだが!大問1に空欄を1つ生成する。和訳も雑だし自由英作文も和文英訳も30分で無理やり書いたし本当に大丈夫か?だいぶ不安になった。

理科:化学の大問1、2を30分で通過。空欄は2つ。大丈夫そうだ(後日答案再現の時に平衡のところの間違いに気づく)。大問3で詰まる。ここで30分も使う。(答案再現の時に解答速報見たら半分くらいしか合ってなくて肝が縮んだ)大問4でオレイン酸を書かないといけないと思い込んででの炭素数が思い出せなくて時間をロスする(解答速報みた感じは完答)。とりあえず最後までたどり着いた。物理はケプラー出るかと思ったら出てきた。計算が煩雑そうだなと思いつつやっていくと(1)途中で誘導に乗れなくなって焦る。しょうがないので飛ばして(2)をやる。穴埋めを最後までやり終わると物理をはじめてから30分くらい経っててしょうがないので記述を捨てる。大問2へ。(1)(2)穴埋めをささっと埋めて問1へ。やり方は合ってるはずなのに答えが合わない。だいぶ焦る。頭も働かなくなってきた。全部消して考えるもわからず。なんでや。(3)へ。頭が回っていないのでトンチンカンなことをするがとりあえず穴埋めは埋まった。問2、なんで解けへんのや、時間もないので諦める。大問3へ。出て欲しくなかった波動(全く対策をしていない)が出てしまったがだいぶ変化球だな、しかしハイパー東大理類の自習用テキストで見た気がするぞ、と思いつつヒヤヒヤしながら穴を埋める。問1。三角関数が合成できない。ここまでで間違ってるところがあるのか?と思ったがこれ以外答えがわからないのでそのままにした。この問1普通にわからないが続く文章が「以上より」になってて詰んだか、と思った。が、よく見るとあまり関係ないじゃないか、「お」の穴埋めさえ合ってれば位相の関係から「か」の穴埋めはいけると判断してその後ろを埋めていく。「き」からは完全に関係なさそうだったのでなんとか最後まで穴埋めを埋める。問2。よくわからんけど足せばいいんだろ足せば、と足してみた(が計算をミスっている上に問題文が読めていない)。問3。理由を書かずにXとだけ書いておいた。あーもう残り時間がねえよ、と物理だけサーっと見返して終了。

あ〜終わってしまったなあ〜〜しにてえ〜

そんな気持ちになってた時に時計台前で待ってくれてた先に京大生になってた高校同期の友人に慰めてもらったりした。

二次試験後〜合格発表

試験が終わった日に友達の家に泊めてもらってその翌日も遊んだ。気持ちが戻ってきて冷静に考えてこれで落ちてたら困るな、と思ったので受かってることにして勉強を止めてずっと好きなことをして時を待った。

 

オワリ

複素平面上の三角形についての覚え書き

本屋で数オリの本を立ち読みしてて見つけたもの.事実だけ載ってて証明的なソレはなかったので軽くやってみた.ノートにまとめる程でもないのでブログに載せておこうと思ったよ.

お題

三角形ABCがあり,内心をI,外心をO,三角形ABC の外接円と直線AI,BI,CIの交点をD,E,F とすると, うまく複素数a,b,cを選ぶことにより, $$ A(a^2),B(b^2),C(c^2),D(−bc),E(−ca),F(−ab) $$ $$ O(0),I(−ab − bc − ca) $$ $$ 三角形 ABC の外接円 : |z| = 1 $$ とおくことができる.

証明

おおまかな流れ

先に三角形DEFの垂心の複素数を求めて,それが三角形ABCの内心になりうることを示します.以下ではA,B,C,D,E,Fはすべて単位円上の点とします.

三角形DEFの垂心の複素数を求める

使いたいことを先に提示しておきます.

複素座標上の単位円上の異なる3点P(p),Q(q),R(r)によってつくられる三角形PQRの垂心H(h)は $$ h=p+q+r $$ と表される.

オイラー線を考えれば三角形PQRの重心G\left(\frac{p+q+r}{3}\right)であることからOG:GH=1:2なのでH(p+q+r)
ってことなんだけど下で真面目にちょっとやってみます.

PH\perp QRなので,これを複素数の数式として表すと $$ \left(\frac{h-p}{r-q}\right)+\overline{\left(\frac{h-p}{r-q}\right)}=0 $$ これを整理すると $$ h+\frac{r-q}{\overline{r}-\overline{q}}\overline{h}=p+\frac{r-q}{\overline{r}-\overline{q}}\overline{p} $$ ここで,|p|=|q|=|r|=1から\overline{p}=\frac{1}{p},\overline{q}=\frac{1}{q},\overline{r}=\frac{1}{r}なので,
\displaystyle \frac{r-q}{\overline{r}-\overline{q}} = \frac{r-q}{\frac{1}{r}-\frac{1}{q}}= \frac{r-q}{\frac{q-r}{qr}}= -qrであることなどを考慮すれば $$ h-q r \overline{h} = p- {\frac{q r}{p}} $$ となります.*1QH\perp RPについても同様に考えることで連立方程式 {} $$ {\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} h-q r \overline{h} = p- {\frac{q r}{p}} \\ h-r p \overline{h} = q- {\frac{r p}{q}} \end{array} \right. } $$ が得られます.これを解くと,*2 $$ h=p+q+r $$ となります.

以上の事実を使えば,p,q,r-bc,-ca,-abに置き換えることで,-bc-ca-abが三角形DEFの垂心であることがわかります.

三角形DEFの垂心は三角形ABCの内心

お題が言ってるのは以下の図が成り立つということですが,

f:id:potaxyz:20181223183957p:plain:w300
三角形の角度の関係

ここまでではD,E,Fを設定してきたのでA,B,Cを決定していきます.とりあえずAを決めればB,Cは対称性から証明できそうです.

ということでAの複素数をとりあえずzとおいて,AD\perp EFから, $$ \left(\frac{-ab-(-ca)}{-bc-z}\right)+\overline{\left(\frac{-ab-(-ca)}{-bc-z}\right)}=0 $$ $$ \frac{-ab+ca}{-bc-z}+\frac{-\overline{a}\overline{b}+\overline{c}\overline{a}}{-\overline{b}\overline{c}-\overline{z}}=0 $$ $$ (-ab+ca)(-\overline{b}\overline{c}-\overline{z})+(-bc-z)(-\overline{a}\overline{b}+\overline{c}\overline{a})=0 $$ 共役の関係からバーを取って $$ (-ab+ca)\left(-\frac{1}{bc}-\frac{1}{z}\right)+(-bc-z)\left(-\frac{1}{ab}+\frac{1}{ca}\right)=0 $$ abczをかけて $$ (-ab+ca)(-az-abc)+(-bc-z)(-cz+bz)=0 $$ これを整理すると $$ z^2+(bc-a^2)z-a^2bc=0 $$ $$ (z-a^2)(z+bc)=0 $$ z\neq -bcなので,z=a^2となって,A(a^2)と分かりました.同様にして,B(b^2)C(c^2)も分かります.

以上より証明が完了したということになります.

*1:一般に,この式の形z-b c \overline{z} = a- {\frac{b c}{a}}は,bcを通る直線の垂線であるもののうちaを通るものを表します

*2:連立方程式を解くのにクラメルの公式という便利な道具があるので使わせてもらうとh=\frac{
\left|
    \begin{array}{l}
     p- {\frac{q r}{p}}\ \ \ -qr \\
     q- {\frac{r p}{q}}\ \ \ -rp
    \end{array}
 \right|
}
{
\left|
    \begin{array}{l}
     1\ \ \ -qr \\
     1\ \ \ -rp
    \end{array}
 \right|
}
=\frac{-p^2r+qr^2+q^2r-pr^2}{-rp+qr}=\frac{-p^2+q^2-pr+qr}{-p+q}=p+q+r

思いつき系(?)の問題を3つ用意してみたよ.

問題

  1. n^4+n^3+n^2+n+1が平方数となるようなnをすべて求めよ.
  2. 任意の整数N>1に対して,連続するN個の自然数で,そのどれもが素数でないものが存在することを示せ.
  3. aは実数の定数とする.方程式3(a-1)x^2+6x-a-2=0は0と1の間に少なくとも1つの解を持つことを示せ.

こたえ

  1. n=1,2では不適で,n=3のとき,n^4+n^3+n^2+n+1=121=11^2となって適する.以後,n>3のときを考える.n^4+n^3+n^2+n+1が平方数ならば4n^4+4n^3+4n^2+4n+4も平方数.n>3では $$ (2n^2+n)^2 < 4(n^4+n^3+n^2+n+1) < (2n^2+n+1)^2 $$が成立するので,平方数となるnは存在しない.
  2. 連続するN個の自然数は,ある自然数mを用いて $$ m+2,m+3,\cdots\cdots ,m+N,m+N+1 $$ と表せる.ここで,m=(N+1)!とすれば,これらはどれも整数ではない.実際,2\leqq i \leqq N+1をみたす自然数iに対して, $$ m+i=(N+1)!+i=\{ (1\times 2\times \cdots \times (i-1) \times 1 \times (i+1) \times \cdots \times N+1)+1 \} \times i $$ はiで割り切れる.
  3. 与式の左辺を0から1の区間積分すると $$ \int_0^1 3(a-1)x^2+6x-a-2 = \left[ (a-1)x^3+3x^2-(a+2)x \right] _0^1 =0 $$ となるので,0と1の間に少なくとも1つの解を持つ.

θ/π(∈Q)とcosθ

世間は夏休みらしい。ハハ......(そろそろ疲れました...まだ半年以上続くと思うととてもつらい)
ということで本題!

お題

\theta\pi有理数倍であるならば,\cos\thetaが取り得る有理数の値は有限個に限られる.

証明

とりあえずはチェビシェフ多項式を持ってきます.

チェビシェフ多項式
\left\{T_n(x)\right\}^\infty_{n=0}を,漸化式 $$ T_0(x)=1,T_1(x)=x,T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x) $$ で定まる多項式からなる列とする.このとき,T_n(x)n番目のチェビシェフ多項式という.

それでもって,こいつらを全部2倍します.
$$ 2T_0(x)=2,T_1(x)=2x,2T_{n+1}(x)=2x\cdot2T_{n}(x)-2T_{n-1}(x) $$ そうしたら,2T_n(x)をあらためてT_n(x)に,2xをあらためてxに置き換えると, $$
T_0(x)=2,T_1(x)=x,T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)-T_{n-1}(x) $$ が完成します.この漸化式,実はx=2\cos\thetaを代入してみるとT_n(2\cos\theta)=2\cos{n\theta}を満たす数列になっています.

(証明)帰納法による.
n=0では,
T_0(2\cos\theta)=2=2\cos{0\cdot\theta}
n=1では,
T_1(2\cos\theta)2\cos\theta
n=kn=k+1での成立を仮定すれば
T_{k+2}(2\cos\theta)
\ =2\cos\theta\cdot T_{k+1}(2\cos\theta)-T_k(2\cos\theta)
\ =2\cos\theta\cdot2\cos(k+1)\theta-2\cos{k\theta}
\ =2\{2\cos\theta\cos(k+1)\theta-\cos{k\theta}\}
\ =2[\cos\{\theta+(k+1)\theta\}+\cos\{(k+1)\theta-\theta\}-\cos{k\theta}
\ =2\cos(k+2)\theta
から,n=k+2でも成立するので,0以上の整数nT_n(2\cos\theta)=2\cos{n\theta}が成立する.

わざわざチェビシェフ多項式をいじってこの形にしたのは,これで定義される数列のT_n(x)帰納的にn次の整数係数の多項式になってるんですけど,このn次の項の係数を常に1にしておきたかったんですね.つまり,T_n(x)は,整数a_0,a_1,a_2,...,a_{n-1}を使って,
$$ T_n(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0 $$ と表せるわけです.まあなんでこんなことしたかはあとで分かると思います.とりあえず,これで下準備は終わりました.さて,本題に取り掛かろうといったところ.

\theta\pi有理数倍の条件から,p,q\in\mathbb{Z},p\geqq 1,q\geqq 0,\gcd(p,q)=1として,
$$ \displaystyle \theta=\frac{q}{p}\pi $$ と表せます.これで表せる\thetaは0以上の数ですが,関数\cos{x}は偶関数なので,x\geqq0の部分だけで考えちゃってもいいわけです.
ここで,p\theta=q\piなので,T_p(2\cos\theta)を考えると,
$$ T_p(2\cos\theta)=2\cos p\theta=2\cos q\pi=2(-1)^q $$ となります.また, T_p(x)は,整数a_0,a_1,a_2,...,a_{p-1}を使って,
$$ T_p(x)=x^p+a_{p-1}x^{p-1}+a_{p-2}x^{p-2}+ \cdots\cdots +a_2x^2+a_1x+a_0 $$ です.さて,ここでT_p(x)の定数項a_0の値に注目します.a_0というのは,T_p(0)に等しいので,チェビシェフ多項式をいじったやつにx=0を代入してやれば定数項に関する情報がわかります.
$$ T_0(0)=2,T_1(0)=0,T_{p+1}(0)=-T_{p-1}(0) $$ これから,帰納的に {} $$ a_0=T_p(0)= \left\{ \begin{array}{l} 0\ \ (p\equiv1,3) \\ 2\ \ (p\equiv0) \\ -2\ \ (p\equiv2) \end{array} \right. \pmod{4} $$ となります.以下,4の剰余類で場合分けしていきます.

  1. p\equiv1,3\pmod4の場合
    a_0=T_p(0)=0なので, $$ T_p(x)=x^p+a_{p-1}x^{p-1}+a_{p-2}x^{p-2}+ \cdots\cdots +a_2x^2+a_1x $$ t=2\cos\thetaとして,これを代入すれば $$ T_p(t)=t^p+a_{p-1}t^{p-1}+a_{p-2}t^{p-2}+ \cdots\cdots +a_2t^2+a_1t $$ です,また $$ T_p(t)=2(-1)^q $$ なので, $$ t^p+a_{p-1}t^{p-1}+a_{p-2}t^{p-2}+ \cdots\cdots +a_2t^2+a_1t=2(-1)^q
    $$ $$ \therefore t^p+a_{p-1}t^{p-1}+a_{p-2}t^{p-2}+ \cdots\cdots +a_2t^2+a_1t-2(-1)^q=0 $$ をみたします.ここで,txについての整数係数多項式 $$ \therefore x^p+a_{p-1}x^{p-1}+a_{p-2}x^{p-2}+ \cdots\cdots +a_2x^2+a_1x-2(-1)^q=0 $$ の有理数解であるといえるので,整数係数多項式の性質 $$ x=\frac{-2(-1)^qの約数}{t^pの約数} $$ を用いることで,tの取り得る値の候補は $$ t=2\cos\theta=\pm1,\pm2 $$ $$ \therefore\cos\theta=\pm\frac{1}{2},\pm1 $$ まで絞られます.このときに,はじめに定めたp,qの条件に合致する具体的な値が存在していればいいわけですが,

    • p=3,q=1とすれば\displaystyle \theta=\frac{1}{3}\piなので\displaystyle \cos\theta=\cos\frac{1}{3}\pi=\frac{1}{2}
    • p=3,q=2とすれば\displaystyle \theta=\frac{2}{3}\piなので\displaystyle \cos\theta=\cos\frac{2}{3}\pi=-\frac{1}{2}
    • p=1,q=0とすれば\displaystyle \theta=0なので\displaystyle \cos\theta=\cos0=1
    • p=1,q=1とすれば\displaystyle \theta=\piなので\displaystyle \cos\theta=\cos\pi=-1
      となって,いずれもOKです.
  2. p\equiv0\pmod4の場合
    a_0=T_p(0)=2です.また,p,q\gcd(p,q)=1をみたす,つまり互いに素なのでqは奇数です.よって2(-1)^q=-2がいえます.よってT_p(x)x=t=2\cos\thetaを代入したものは $$ T_p(t)=t^p+a_{p-1}t^{p-1}+a_{p-2}t^{p-2}+ \cdots\cdots +a_2t^2+a_1t+2 $$ と $$ T_p(t)=-2 $$ をみたすので,これらから $$ t^p+a_{p-1}t^{p-1}+a_{p-2}t^{p-2}+ \cdots\cdots +a_2t^2+a_1t+2=-2 $$ $$ \therefore t^p+a_{p-1}t^{p-1}+a_{p-2}t^{p-2}+ \cdots\cdots +a_2t^2+a_1t+4=0 $$ となります.ここで,txについての整数係数多項式 $$ x^p+a_{p-1}x^{p-1}+a_{p-2}x^{p-2}+ \cdots\cdots +a_2x^2+a_1x+4=0 $$ の有理数解であるといえるので,ここでもまた整数係数多項式の性質を用いると, tの取り得る値の候補は $$ t=2\cos\theta=\pm1,\pm2,\pm4 $$ $$ \therefore\cos\theta=\pm\frac{1}{2},\pm1,\pm2 $$ まで絞られます.ここで,この場合に適する(p, q)の組を調べてみると

    • −1\leqq\cos\theta\leqq1であることより,\cos\theta=\pm2とはなりえない.
    • \cos\theta=\pm1のときは,\displaystyle \frac{q}{p}\in\mathbb{Z}なので,\gcd(p,q)=1,つまりp,qが互いに素の条件もとではp=1であり,不適.
    • \displaystyle \cos\theta=\pm\frac{1}{2}のときは,p, qが互いに素の条件のもとではp=3とならなくてはいけないので不適.
      となって,該当するものは存在しませんでした.
  3. p\equiv2\pmod4の場合
    p,qは互いに素なので,qは奇数です.また,このとき,pは素因数に2を1つしか含まないので,p=2mmは奇数)とおくことができます.すると,\gcd(p,q)=\gcd(m,q)=1がいえます.ここで,\displaystyle \cos\frac{q}{m}\piを考えれば,場合分けの1.で考察した場合に帰着するので,取り得る値の候補は $$ \cos\frac{q}{m}=\pm\frac{1}{2},\pm1 $$ に限られます.ここで,\displaystyle \cos\theta=\cos\frac{q}{p}\piについて考えれば, $$ \cos\frac{q}{p}\pi=\cos\frac{1}{2}\frac{q}{m}\pi=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\frac{q}{m}\pi}{2}}=0,\pm1,\pm\frac{1}{2},\pm\frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$ \therefore \cos\theta=0,\pm1,\pm\frac{1}{2},\pm\frac{\sqrt{3}}{2} $$ が取り得る値の候補になりますが,明らかに\displaystyle \pm\frac{\sqrt{3}}{2}無理数なので不適です.
    これを除いて,残りについて,場合に適する(p, q)の組を調べてみると

    • \cos\theta=\pm1のときは,\displaystyle \frac{q}{p}\in\mathbb{Z}なので,\gcd(p,q)=1,つまりp,qが互いに素の条件もとではp=1であり,不適.
    • \displaystyle \cos\theta=\pm\frac{1}{2}のときは,p, qが互いに素の条件のもとではp=3とならなくてはいけないので不適.
    • \cos\theta=0のときは,p=2,q=1とすれば\displaystyle \theta=\frac{1}{2}\piなので\displaystyle \cos\theta=\cos\frac{1}{2}\pi=0となって確かに適する.

ということで,以上の1. 2. 3. をふまえれば,\thetaが\pi有理数倍であるときに,\cos\thetaが取り得る有理数の値は $$ \cos\theta=0,\pm\frac{1}{2},\pm1 $$ に限られることがわかりました.

補足など

結果はそうなんだ〜っていう感じでけっこうおもしろいですよね.
この命題の肝は,チェビシェフ多項式をいじったやつのn次の係数が1のおかげで,実数係数多項式の性質から簡単に候補が絞れるってことですかねー.いじらずにやっちゃったら2のマイナスナントカ乗とかいっぱい出てきますしねー.
なんか自作で問題を作った時にこれをそのまま題材にしたんですけど,誘導のつけ方が下手すぎて普通の人にとっては解くにも解けない問題をつくっちゃってたんですけどね...