ポタージュを垂れ流す。

マイペースこうしん

数学

思いつき系(?)の問題を3つ用意してみたよ. 問題 が平方数となるようなをすべて求めよ. 任意の整数に対して,連続する個の自然数で,そのどれもが素数でないものが存在することを示せ. は実数の定数とする.方程式は0と1の間に少なくとも1つの解を持つこと…

θ/π(∈Q)とcosθ

θがπの有理数倍であるならば,cosθが取り得る有理数の値は有限個に限られ,その値は0,±1/2,±1のみである.

三次方程式の1つの解を別の解で表現する

お題 有理数係数三次方程式の解をとしたとき,は有理数係数のの二次式で表すことができる. 証明的なやつ としてよい. 解と係数の関係より, , よって , これを用いて ・・・☆ また, となるから, なお,途中で の関係を用いた.また, にを代入すると …

ルート2の近似

はじめに twitterみてたら某青色予備校の模試の問題が回ってきたわけで、 ,,,,により数列,を定義する. (1)すべての自然数について,が成り立つことを示せ. (2)すべての自然数について,が成り立つことを示せ. (3) の値を求めよ. (4) (3)で求めた値…

円上の点とその動点との距離の和

問題 原点を中心とする半径1の円の周上に,,,と動点Pをとるとき,の最小値を求めよ. 解き方いろいろ 個人的に今週ホットな問題.まずは普通にやってみます. 解法1 とする.図形の対称性から,としてよい. *1 ただし, よって求める最小値は 解法2 って…

2進数の3による剰余

命題 整数を2進法表記したときに桁の数になったとする.このとき,第桁目の数をとおくと,を3で割ったときの余りはを3で割ったときの余りに一致する. 証明 以下法を3とします. は2進法では桁の数で,桁目だけが1で桁目まで0が並ぶ数です.はこれをまで足し…

反転に関する覚え書き

問題 平面のの部分にあり,軸に接する円の列,を次のように定める. 0以上の整数に対し,は半径1の円であり,はに外接する. はとに外接し,との弧および軸で囲まれた部分にある. 3以上の整数に対し,はとに外接し,との弧および軸で囲まれた部分にある. …

三角形の面積比のやつ

近況報告的な クソみたいな日々を送っているのでつまらない毎日の中で虚無る前に勉強の中でのちょっとした発見に喜びを見出してなんとか生きながらえています。例えば今日のやつはそんな感じで気づいたっていう、そんなかんじです。! はじめに よくあります…

漸化式の話

はじめるまえに 次のブログ記事についてアンケートしてみる一番下の漸化式は「隣接3項間漸化式の特性方程式が共役複素数解となるときに無理やり一般項を出す方法」です— ポタージュ(エモンガのアイコン) (@_2pt) 2018年4月7日 こんな感じでアンケートアンケ…

R≧2r

命題 任意の三角形の外接円の半径Rと内接円の半径rに対して,が成り立つ. 証明 三角形の面積をS,各辺の長さをa,b,cとすると, *1 ここで,見やすくするために,,とおけば, であることに注意して, と書き直せるから, ,, となる.これを用いると示す…

線形近似を生物で使ったお話

今年の1月か2月頃だったと思うけど、以下の問題について質問されたことを思い出したのでブログでの数式の書き方の練習も兼ねて書いてみることにしました*1 問3. 下線部①のカリウム平衡電位()は以下の式によって導き出される。この式を用いて以下の問に答え…