ポタージュを垂れ流す。

マイペースこうしん

2進数の3による剰余

命題

整数Nを2進法表記したときにn桁の数になったとする.このとき,第k桁目の数をa_kとおくと,Nを3で割ったときの余りは\displaystyle \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} a_kを3で割ったときの余りに一致する.

証明

以下法を3とします. 2^{k-1} a_kは2進法ではk桁の数で,k桁目だけが1でk-1桁目まで0が並ぶ数です.Nはこれをk=1,2,......,nまで足し合わせたものだと考えられるので,
\displaystyle N= \sum_{k=1}^n 2^{k-1} a_k
です. ここで整数mとします.

  • k=2mのとき
    \displaystyle 2^{2m-1} a_{2m}=2 \cdot 4^m a_{2m} \equiv -a_{2m}

  • k=2m+1のとき
    \displaystyle 2^{2m} a_{2m+1}=4^m a_{2m+1} \equiv a_{2m+1}

よって,2^k a_k \equiv (-1)^{k-1} a_kとなりますから,これをk=1,2,......,nまで足し合わせることで,
\displaystyle \sum_{k=1}^n 2^{k-1} a_k \equiv \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} a_k \Leftrightarrow N \equiv \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}
が成り立つことがわかり,命題は示されました.

補足とか

普通にラウンジとかいうところで勉強してたら2進法が関係ある問題を出されたので,それにちょっと関連した感じで覚え書きです.シグマとか使って書かれてますけど要は2進法で表されてる数の桁を交互に足し引きしてそれが3の倍数になったら元の数を10進法で表した数も3の倍数ってことです.

反転に関する覚え書き

問題

f:id:potaxyz:20180512002404p:plain xy平面のy≧0の部分にあり,x軸に接する円の列C_0,C_1,C_2,...E_2,E_3,E_4,...を次のように定める.

  • 0以上の整数nに対し,C_{n}は半径1の円であり,C_{n+1}C_{n}に外接する.

  • E_2C_0C_1に外接し,C_0C_1の弧およびx軸で囲まれた部分にある.

  • 3以上の整数nに対し,E_nC_0E_{n-1}に外接し,C_0E_{n-1}の弧およびx軸で囲まれた部分にある.

このとき,2以上の整数nに対し,C_{n}E_{n}の共通外接線が原点を通ることを示せ.*1

反転の性質

中心O,半径rの円があり,Oを始点とする半直線上に2点P,P'があり,OP\times OP'=r^2であるとき,PP'に写す操作をこの円に関する反転といいます.
無限遠点を定義すれば,この写像は厳密に全単射(変換前後の集合の元が一対一に対応していて,重複して対応したり,対応しないものがない)になります.
反転によって,

  • 原点を通る直線は原点を通る直線にうつる

  • 原点を通らない直線は原点を通る円にうつる

  • 原点を通る円は原点を通らない直線にうつる

  • 原点を通らない円は原点を通らない円にうつる

これらは三角形の相似とか方冪の定理とかで証明できます.
また,反転が全単射写像であることから,図形同士が接している時,反転の前後でそれらの共有点の数は変わらず,

  • 反転によって接する,接しないという状況は変わらない

ということがわかります.この問題ではこの性質を用いることになります. まあ同じこと書いてあるからこちらの方を見てくださいな. mathtrain.jp

答え

l:x=0x軸),m:x=2とする.
x^2+y^2=4(原点中心,半径2の円)に関する反転写像fとする)を考えると,
f:l→lf:m→C_0f:C_1→C_1
である.
ここで,2以上の整数nに対し,f:C_n→E_nが成り立つことを示します.

  • n=2のとき
    C_2l,m,C_1に接していて,E_2l,C_0,C_1に接していることから,
    f:C_2→E_2
    がなりたちます

  • n=kのとき,f:C_k→E_kが成り立つと仮定します.
    n=k+1のとき,C_{k+1}l,m,C_kに接していて,E_{k+1}l,C_0,E_kに接していることから,
    f:C_{k+1}→E_{k+1}
    より,n=k+1のときもf:C_n→E_nが成立します.

ゆえに,2以上の整数nに対し,f:C_n→E_nが成り立ちます.
よって,C_nE_nの共通外接線を考えた時,それらの接点は写像fで互いに写りあうので,原点とそれらの接点は同一直線上にあることがわかります.
したがって,C_{n}E_{n}の共通外接線は原点を通ります.

補足など

授業で反転の話が始まってだいたいこんなこと言ってたのである程度整理してまとめてみました.とはいえあの場で多少でも理解できた人は一体どれくらいいるのだろうか...?
ちなみにE_n半径とか中心のx座標とかについての漸化式を立てて,原点とそれぞれの円の中心が同一直線上だって示してから相似がどうとかやれば,こんなことはしなくても証明はできます.

*1:texを久しぶりに使ってみたよ(どうでもいい)

でかいムカデに刺された

あらまし

この日の朝、最寄り駅の改札を通った瞬間、ガビョウを踏んだような痛みが右足の親指に!よくわからんけどトゲでもささったかな?って思って靴下を脱いだら右のふとももに15cmくらいありそうなデカいムカデが落ちてきた!!!犯人はお前か!!!!!

自然にふざけんじゃねーぞって声が漏れた。普通に意味わかんないしふざけんじゃねーぞマジ。

Q.駅にいたムカデに刺されたのですか?

A.いいえ、多分家で僕の靴の中に入ってたムカデがそのまま中にいて、駅で刺されたものと思われます。(家は名古屋市内にはなく、そこそこ田舎にあって、ムカデとかヤスデとかクモとかがよく家の中を這っています)

Q.なぜ気づかなかったのか

A.知るか!!!!!!!!!!!!

薬を塗るまで

流石にわけわかんないからホームのベンチに座ってスマホで応急処置とか探した。

そうすると何かあったらすぐ病院へーとか他の虫刺されに比べてヤバそうな雰囲気漂ってる記事が多くてー焦りますよマジで。

とか思いながら応急処置が見つかったんだけど、45℃くらいのお湯で洗い流すとかいうのがまず出てきた。駅にそんなお湯なんてねーよ!!

で、次にステロイド系の塗り薬を塗るって出てきて、これが現実的だなーってなった。まあでもよくわからんし薬局行ってそこの人に聞けばいいや。

でも朝7時台だしどこも薬局なんてやってねーよ!!!

って思いながら探してたら名駅に行けば8時からやってる薬局があることが分かったので、とりあえず電車に乗った。

今日は電車の中で古文単語帳をやろうとせっかく意気込んで持ってきたのにそれどこじゃなく、痛すぎて右足が震えそうになってるのを抑えつつ下を向いて耐えるという感じでして、キツイ。冗談じゃねーぞマジで。

明らかに変な歩き方をしながら乗り換えをして名駅になんとか着いた。

薬局にて

僕「すいません、ムカデに刺されたみたいなんですけど......(どういう状況だよ)」

薬局のおじさん「それでしたらこれですと...(ウンヌンカンヌン)...ですね」 

僕「ありがとうございます!!」

薬局のおじさん「お大事にしてくださいね」

僕「ありがとうございます!!!!!」

こうして貴重な1000円がなくなった。仕方ない。

 

 これを買った。

一刻も早く薬を塗るぞ!こっちは命かかってんだ!という気持ちで金時計で靴を脱いで塗り薬を塗った。けどこの後予備校まで歩かんといけないじゃん。ここで塗ってどうすんねん。

どういう痛みなのか

洗濯バサミ引っ張るやつあるでしょ。引っ張る瞬間めっちゃ痛いやつ。あの瞬間が永遠に続くと考えてもらえばいいと思います。

あと刺されたところに圧力かけるとより痛いとかそういうのはなくて、どういう姿勢であれ同じレベルの痛みが続く感じでした。

その後

予備校に着いて薬を塗り直した。そんなすぐ効くわけじゃないからまだ痛い。苦しみながら予習してたら知らんうちに友達にインスタのストーリーに動画あげられてた。なんやこれ。

授業に全く集中できないので一コマ目は寝るしかなかった。寝たら1割くらいマシになった。

時間経つにつれてだんだんよくなって、夕方頃には初めの5割くらいになってた。ステロイドすごい。

俺はムカデ人間なんかじゃねえ!!!

 

あれからムカデがいるか心配で家のスリッパが履けなくなりました。

さいごに

みんなも靴を履くときはムカデが中にいないか確認しよう!

三角形の面積比のやつ

近況報告的な

クソみたいな日々を送っているのでつまらない毎日の中で虚無る前に勉強の中でのちょっとした発見に喜びを見出してなんとか生きながらえています。例えば今日のやつはそんな感じで気づいたっていう、そんなかんじです。!

はじめに

よくありますよね、こんなかんじのやつ。

\triangle ABCと点P3\vec{PA}+4\vec{PB}+5\vec{PC}=\vec{0}を満たす時,\triangle PAB\triangle PBC\triangle PCAの面積の比を求めよ.

答えは\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB =3:4:5になるんですけど、一般に

a\vec{PA}+b\vec{PB}+c\vec{PC}=\vec{0}を満たす正の実数a,b,cが存在するとき\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB =a:b:c

が成り立ちます。ネットで調べるといろいろでてきます。

本題

じゃあ、もし右辺が0じゃなかったらどうなるんだろう...!

\triangle ABCと点P3\vec{PA}+4\vec{PB}+5\vec{PC}=2\vec{AB}を満たす時,\triangle PAB\triangle PBC\triangle PCAの面積の比を求めよ.

これだったら、
3\vec{PA}+4\vec{PB}+5\vec{PC}=2\vec{AB}
3\vec{PA}+4\vec{PB}+5\vec{PC}=2\vec{PB}-2\vec{PA}
5\vec{PA}+2\vec{PB}+5\vec{PC}=\vec{0}
になって結局\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB =5:2:5ですね。

問題は次ですよ、ってかこれが今回記事にしたかったやつ

\triangle ABCと点P3\vec{PA}+4\vec{PB}+5\vec{PC}=6\vec{AB}を満たす時,\triangle PAB\triangle PBC\triangle PCAの面積の比を求めよ.

これだと、
3\vec{PA}+4\vec{PB}+5\vec{PC}=6\vec{AB}
3\vec{PA}+4\vec{PB}+5\vec{PC}=6\vec{PB}-6\vec{PA}
9\vec{PA}-2\vec{PB}+5\vec{PC}=\vec{0}
から、
\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB =9:-2:5(←は???)
これだとマイナスが出てきちゃったしよくわからないですねー、、
ってなってしまったので普通に解いてみましょう。 9\vec{PA}-2\vec{PB}+5\vec{PC}=\vec{0}
-9\vec{AP}-2(\vec{AB}-\vec{AP})+5(\vec{AC}-\vec{AP})=\vec{0}
12\vec{AP}=-2\vec{AB}+5\vec{AC}
\displaystyle \therefore\vec{AP}=\frac{1}{4} \frac{-2\vec{AB}+5\vec{AC}}{5-2}
よって、点Pは辺BCを5:2に外分する点をDとすると、線分ADを1:3に内分する位置に存在します。
\triangle ABD=Sと面積を置くことにすると、
\displaystyle \triangle PBC=\frac{3}{4}\frac{3}{5}S=\frac{9}{20}S
\displaystyle \triangle PCA=\frac{2}{5}\frac{1}{4}S=\frac{1}{10}S
\displaystyle \triangle PAB=\frac{1}{4}S
より、
\displaystyle \triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB =\frac{9}{20}S:\frac{1}{10}S:\frac{1}{4}S=9:2:5
になりました。これと
9\vec{PA}-2\vec{PB}+5\vec{PC}=\vec{0}
を比べると、もしかして、係数の絶対値がそのまま比になるのでは...って予想ができますね!ってことで一般に証明してみよう!

一般化

a\vec{PA}+b\vec{PB}+c\vec{PC}=\vec{0}を満たす実数a,b,c(ただし,いずれも0でない)が存在するとき\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB =|a|:|b|:|c|は成り立つのか

これを考えるにあたって、
a,b,cがすべて正の実数のとき
a,b,cのうち2つは正の実数で、1つが負の実数のとき
a,b,cのうち1つは正の実数で、2つが負の実数のとき
a,b,cがすべて負の実数のとき
の4パターンが考えられますが、④は両辺に-1を掛けることで①に帰着し、③も同様に両辺に-1を掛けることで②に帰着します。ここでは①については既知であるとすると、②を示せば、全てのパターンを網羅したことになって、この命題が示されることになりそうですね!

ということで②について示します
三角形の頂点の記号は任意に選べるので、aは負の実数、b,cは正の実数となるa\vec{PA}+b\vec{PB}+c\vec{PC}=\vec{0}をみたすものについて考えますが、ここで、係数のaを-aに置き換えて-a\vec{PA}+b\vec{PB}+c\vec{PC}=\vec{0}を満たす正の実数a,b,cについて考えることにします。

このとき、
-a\vec{PA}+b\vec{PB}+c\vec{PC}=\vec{0}
a\vec{AP}+b(\vec{AB}-\vec{AP})+c(\vec{AC}-\vec{AP})=\vec{0}
\displaystyle \because \vec{AP}=\frac{b+c}{-a+b+c}\frac{b\vec{AB}+c\vec{AC}}{c+b}
よって、点Pは辺BCをc:bに内分する点をDとすると、線分ADをb+c:aに外分する位置に存在します。
\triangle ABD=Sと面積を置くことにすると、
\displaystyle \triangle PBC=\frac{a}{|-a+b+c|}S
\displaystyle \triangle PCA=\frac{b}{b+c}\frac{b+c}{|-a+b+c|}S=\frac{b}{|-a+b+c|}S
\displaystyle \triangle PAB=\frac{c}{b+c}\frac{b+c}{|-a+b+c|}S=\frac{c}{|-a+b+c|}S
より、
\displaystyle \triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB =\frac{a}{|-a+b+c|}S:\frac{b}{|-a+b+c|}S:\frac{c}{|-a+b+c|}S=a:b:c
となって、確かに②は成立しました!
よって、①から④まで全ての場合について成り立つことが分かったので

a\vec{PA}+b\vec{PB}+c\vec{PC}=\vec{0}を満たす実数a,b,c(ただし,いずれも0でない)が存在するとき\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB =|a|:|b|:|c|

が一般に成り立つことが分かりました!

正弦波ではない波の式

問題

下図はある瞬間のx軸の正の向きに速さvで伝わる波の様子である.この瞬間,波の形はxの関数として,y=Ae^{-(x-a)^2 /a^2}と表せる.この波の変位の大きさが最大値Aとなる点を頂点と呼び,この瞬間の頂点のx座標はx=aと表せる.また,変位の大きさが\frac{A}{e}より大きくなっている領域をこの波の空間的な幅dと呼ぶこととすると,この波の空間的な幅はd=2aである.

f:id:potaxyz:20180422120400p:plain
(1) 図の瞬間をt=0としたとき,x=0のときの波の形をtの関数として表しなさい.また,x=0の媒質が頂点となる時刻および変位が\displaystyle \frac{A}{e}より大きくなる時間的な幅τも求めなさい.
(2) この波の波の式を求めなさい.
次に,図で描かれている波を入射波とし,x=L(>a)における反射によって生じる反射波について考えたい.ただし,x=Lにおける反射が固定端反射であるとする.
(3) 入射波によってx=Lの媒質に生じる振動(変位)y_{入射}tの関数として表しなさい.
(4) (3)で求めた関数をy_{入射} (t)とする.x=Lにおける入射波の振動をy_{反射} (t)としたとき,y_{入射} (t)y_{反射} (t)の関係を求めなさい.
(5) 反射波は(4)で求めたy_{反射} (t)を波源とするx軸の負の向きに伝わる波として求めることができる.反射波の波の式を求めなさい.
(私の高校の定期テストを一部改題)

習ったばっかりのときに正弦波じゃないのがテストに出されてビビった覚えがある.とはいえそう難しいわけじゃないけど.解説にもなかなかの煽りが書かれている

...そもそも「波=三角関数」といった先入観があるようだが,教科書などでも「パルス波」という山もしくは谷を1つだけ含む波が扱われている.三角関数にのみ目がいってしまって「波とは?」をおろそかにしていないだろうか.物理学で問われるのは手法(How to)ではなく,物事の本質である.
(私の高校の定期テストの解説より引用)

流石は○○高校の物理科だと思う.
めんどいので図示は全部式を求めよとかそういうのに変えました.最後に合成波の図示とかあったけどそれもめんどいので問題ごと消しました.


こたえ

(1)(2)
ある時刻tにおける波形は時刻t=0の波形からx方向にvtだけ進んだ(平行移動した)波となっているので, 波の式は
y(x,t)=y(x-vt,0)
から,
y(x,t)=Ae^{-(x-vt-a)^2 /a^2}
です,また,x=0のときは上の式にx=0を代入すれば,
\displaystyle y(0,t)=Ae^{-(vt+a)^2 /a^2}
となります.(vt+a)^2=a^2となるtt=0以外で求めると,\displaystyle t=-\frac{2a}{v}で,これらの差(の絶対値)がτであることから,
 \displaystyle τ=\frac{2a}{v}=\frac{d}{v}
となります.

(3)y(x,t)x=Lを代入して,
 y(L,t)=y_{入射}(t)=Ae^{-(L-vt-a)^2 /a^2}

(4)固定端反射のとき,反射するx=Lにおいては
 y(t)_{入射}+y(t)_{反射}=0
 \Leftrightarrow y_{入射}(t)=-y_{反射}(t)
が成り立ちます.

(5)固定端反射のとき,反射波と入射波は反射点(L,0)に対して任意の時刻で点対称なので,
 y_{反射}(x,t)=-y_{入射}(-x+2L,t)
より,
 y_{反射}(x,t)=-Ae^{-(-x+2L-vt-a)^2 /a^2}
 \ \ \ \ =-Ae^{-(x-2L+vt+a)^2 /a^2}
となります.


補足など

この形で表される関数はガウス関数と呼ばれるやつらしいです.正規分布とかでよく見かけるとかなんとか.

鎌倉旅行

1日目

いつものように鈍行で名古屋から東京方面へ

神奈川県の藤沢駅周辺で適当にご飯を食べた後江ノ電に乗って極楽寺駅で下車した

  • 極楽寺
    時期が時期だったので花祭りをやってました
    というかこの日はどこのお寺行っても甘茶かけるやつがおいてありました
    甘茶がうまかった

    f:id:potaxyz:20180411163053j:plain

    極楽寺
  • 成就院
    コンパクトな境内で悪くないw

    f:id:potaxyz:20180411163523j:plain

    成就院から下をみる
  • 御霊神社
    神社の鳥居の前が踏切になってて撮影スポットになってる
    電車が通るとみんな写真撮ってました

    f:id:potaxyz:20180411163709j:plain

    境内から (自分もだが)写真撮ってるやつしかいない
  • 長谷寺
    ネットで調べてると外国人観光客の集客にかなり力を入れてるとのことだったけど、確かにその通りで外国人だらけだった
    ここの中の地蔵堂ってとこに地蔵がズラーって並んでて中々すごい
    海が見える高台的なところがあったけど下が住宅地なのでぶっちゃけ微妙でした

    f:id:potaxyz:20180411163840j:plain

    長谷寺
  • 高徳院
    鎌倉大仏のところ
    というか何か建物でもあるのかと思ってたら大仏しかない

    f:id:potaxyz:20180411163939j:plain

    鎌倉大仏

途中でゆずジェラートを食べて雑貨屋でハンカチでも買ってみた

そこそこに散歩をしたら暗くなってきたので鎌倉駅から大船駅

夜ご飯を適当に食べようとして、すぐ見つかった店でうどんを食べたけど後で駅構内を歩いたら思ったよりご飯屋が多くてミスったなーって感じ

ひばり湯という銭湯にはいる

電気マッサージ風呂とかいうのがビリビリしてヤバかった

1時間くらい入ってすっきりしました

この日はネットカフェに泊まってみた

想像以上に快適でした

これからも使っていこう

2日目

ネカフェを出て電車に乗って大船駅から北鎌倉駅

  • 円覚寺
    朝早いしほとんど人はいなかった
    ただガチ仏教徒の方々が大仏の前でお参りの儀式みたいなの始めちゃって居づらかった
    その人たち儀式終わったと思ったら写真撮りまくるから便乗して写真を撮っておいた
    そこの大仏がいる建物の雰囲気がよかった

    f:id:potaxyz:20180411164422j:plain

    仏殿 天井画もよき
    舎利殿は一般公開してなかったので見れませんでしたー
  • 明月院
    ここが今回の旅行の最高によさみがふかい場所ですね
    植物がたくさんあってよい

    f:id:potaxyz:20180411165031j:plain

    参道

    f:id:potaxyz:20180411165147j:plain

    方丈のとこから
  • 建長寺
    でかいわりに見るものが少ないと思ったら奥の方行き忘れてたらしいw
    また今度来よう

    f:id:potaxyz:20180411165415j:plain

    山門
  • 鶴岡八幡宮

    f:id:potaxyz:20180411165652j:plain

    八幡宮 平日でも人が多い
  • cafe kaeru
    お昼ご飯 季節野菜のどんぶり
    野菜がうまい

    f:id:potaxyz:20180411165901j:plain

    季節野菜のどんぶり
  • 絵柄天神社
    学問の神がいるらしい
    今度こそ受かる
  • 鎌倉宮
    厄割り石とかいう名前の皿を割って厄除けをした
  • 杉本寺
    いいの?ってくらい御堂の奥の方に入れたしなかなかよかったのでは
  • 報国寺
    竹林が有名なところ
    実際きれいでよかった

    f:id:potaxyz:20180411170745j:plain

    わたくし
  • 浄妙寺
    奥の方にあるらしいパン屋が定休日だったので何もせずに出た

これで回るつもりだったところは全部回ったので鎌倉駅前でお土産を色々買って東京へ

久しぶりに高校の友達と会って色々喋ったりとか夜ご飯食べるなどした

f:id:potaxyz:20180411170924j:plain

友達と夜ご飯

これから1年頑張って追いつこうと思った

東京医科歯科の人(右)とはまだ話が通じたけど東大の人(左)とはそのうち話が通じなくなりそうでしたw

3日目

めっちゃ寝た

なかなかホテルを出る気にならず10時くらいまでのんびりした

ホテルを出てからは渋谷とか原宿とかいろいろ見て回った

はじめはうまくてよかったけど途中からきつくなってきて完飲はできませんでしたー

またリベンジします

いろいろ見てからは東京駅でお土産を買ったりとかヒモ引いたらあったまるタイプの駅弁買ったり

また鈍行で乗り継いで帰りましたとさ

漸化式の話

はじめるまえに

こんな感じでアンケートアンケートをとったわけですが,

諸事情というより普通に旅行してるんですよねーってことでいつも使ってるパソコンがありませーん(ノートパソコンだから持ってこればよかったとかは言わない)
というわけで物理の問題の図とかを載せれないので後に回して,先に漸化式の話,正確に言えば『隣接3項間漸化式の特性方程式が共役複素数解となるときに無理やり(?)一般項を出す方法』についての記事を書こうと思います~

隣接3項間漸化式の一般解

まずは,a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_n=0の解を高校の教科書的にではなく,"当てる"感じで考えてみましょう.
試しにa_{n}=Cx^nを代入してみると,
Cx^{n+2}+pCx^{n+1}+qCx^{n}=0
となって,両辺をCx^nで割ることで
x^2+px+q=0
を得ます.これは特性方程式とか言ったやつそのものですね!ここでは,この特性方程式が重解を持つ場合は考えないことにします(2解をαβとしたときにα≠β).すると,ABを任意定数として
a_n=Aα^na_n=Bβ^nも解となるので,当然
a_n=Aα^n+Bβ^n
も解となって*1,これが隣接3項間漸化式の一般解となります.

特性方程式が共役な複素数を解に持つ場合

特性方程式x^2+px+q=0が共役な複素数αβを持つとき,極形式を用いることでα=r(\cos\theta+i\sin\theta)と表すことができるので,ド・モアブルの定理などを用いて
α^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)
β^n=\overline{α^n}=r^n(\cos n\theta-i\sin n\theta)
であることより,
a_n=Aα^n+Bβ^n
\ \ =Ar^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)+Br^n(\cos n\theta-i\sin n\theta) \ \ =r^n\left\{(A+B)\cos n\theta+(A-B)i\sin n\theta)\right\}
改めてA+BA(A-B)iBと置きなおすと,
a_n=r^n(A\cos n\theta+B\sin n\theta)
となって一般解を表すことができました!
では,早速この事実を使って問題を解いてみましょう!


問題

1個のサイコロをn回(n=1,2,3, ...)投げたとき,3の倍数の目が出た回数が3で割り切れる確率をa_nとする.例えば,a_1は1回投げて3の倍数の目が出ない確率なので,\displaystyle a_1=\frac{2}{3}である.
\displaystyle p_n=a_n-\frac{1}{3}とするとき,\displaystyle p_{n+6}=-\frac{1}{27}p_nであることを示し,p_n=0となるnを求めよ. (2016年 第1回 京大本番レベル模試)

解答

サイコロをn回投げた時,3の倍数の目が出た回数を3で割ったときに,

  • 割り切れる確率をa_n
  • 1余る確率をb_n
  • 2余る確率をc_n

とします.このとき
\displaystyle a_1=\frac{2}{3}\displaystyle b_1=\frac{1}{3}\displaystyle c_1=0
です.また,3の倍数の目が出た回数は3か6が出れば1増え,それ以外は変わらないことと,サイコロをn回投げた時のすべての確率の和は1であることから,
\displaystyle a_{n+1}=\frac{2}{3}a_n+\frac{1}{3}c_n
\displaystyle b_{n+1}=\frac{2}{3}b_n+\frac{1}{3}a_n
\displaystyle c_{n+1}=\frac{2}{3}c_n+\frac{1}{3}b_n
\displaystyle a_n+b_n+c_n=1
となります.これを整理していくと,
\displaystyle a_{n+1}-c_{n+1}
\displaystyle\ \ =\frac{2}{3}a_n-\frac{1}{3}b_n-\frac{1}{3}c_n
\displaystyle\ \ =a_n-\frac{1}{3}(a_n+b_n+c_n)
\displaystyle\ \ =a_n-\frac{1}{3}
\displaystyle\therefore c_{n+1}=a_{n+1}-a_n+\frac{1}{3}
これと,\displaystyle a_{n+2}=\frac{2}{3}a_{n+1}+\frac{1}{3}c_{n+1}から,
\displaystyle a_{n+2}=a_{n+1}-\frac{1}{3}a_n+\frac{1}{9}
\displaystyle \therefore a_{n+2}-\frac{1}{3}=\left(a_{n+1}-\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{3}\left(a_n-\frac{1}{3}\right)
\displaystyle \therefore p_{n+2}-p_{n+1}+\frac{1}{3}p_{n}=0
ここで特性方程式
\displaystyle x^2-x+\frac{1}{3}=0
であり,これを解くと
\displaystyle x=\frac{1±\sqrt{\frac{1}{3}}i}{2} \displaystyle \ \ =\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}±\frac{1}{2}i\right) \displaystyle \ \ =\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\cos\frac{\pi}{6}±i\sin\frac{\pi}{6}\right)
より,
\displaystyle p_n=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n\left(A\cos\frac{n\pi}{6}+B\sin\frac{n\pi}{6}\right)
と置くことができる.ここで,初期条件
\displaystyle p_1=a_1-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\displaystyle p_2=a_2-\frac{1}{3}=\frac{1}{9} *2 と,
\displaystyle p_1=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(A\cos\frac{\pi}{6}+B\sin\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}A+\frac{\sqrt{3}}{6}B
\displaystyle p_2=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2\left(A\cos\frac{2\pi}{6}+B\sin\frac{2\pi}{6}\right)=\frac{1}{6}A+\frac{\sqrt{3}}{6}B
とを比較することで,連立方程式
\displaystyle \frac{1}{2}A+\frac{\sqrt{3}}{6}B=\frac{1}{3}
\displaystyle \frac{1}{6}A+\frac{\sqrt{3}}{6}B=\frac{1}{9}
を解いて,
\displaystyle A=\frac{2}{3}B=0
とわかる.よって,
\displaystyle p_n=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n\frac{2}{3}\cos\frac{n\pi}{6}
とわかるから,
\displaystyle p_{n+6}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{n+6}\frac{2}{3}\cos\frac{(n+6)\pi}{6}
\displaystyle \ \ =-\frac{1}{27}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n\frac{2}{3}\cos\frac{n\pi}{6}
\displaystyle \ \ =-\frac{1}{27}p_n
であり,\displaystyle p_n=0を満たすのは\displaystyle \cos\frac{n\pi}{6}=0となるとき,即ち求めるnは,6で割って3余る数である.


補足など

正攻法は一般項をださないんですけど,あえて解いてやろうという心持ちで臨めば解くことができてしまいましたね!w
なお,このやり方そのままで答案を書くと減点されると思いますので使うことがあれば(?ないと思うけど...)数学的帰納法なんかを使って証明してから使うようにしましょう.
緑の予備校の模試の問題は入試に対応してるかといえば微妙?な気もするけどよく見れば面白い問題がちょいちょいある印象を受けますがどうでしょうか?
編集に関しては... 疲れた.打つのに3時間くらいかかったわ.二度とやりたくないw(編集画面では約5000文字)

*1:線形結合ってやつ?教えて大学生!

*2:はじめに立てた漸化式から,\displaystyle a_2=\frac{2}{3}a_1=\frac{4}{9}