はじめるまえに
こんな感じでアンケートアンケートをとったわけですが,次のブログ記事についてアンケートしてみる
— ポタージュ(エモンガのアイコン) (@_2pt) 2018年4月7日
一番下の漸化式は「隣接3項間漸化式の特性方程式が共役複素数解となるときに無理やり一般項を出す方法」です
諸事情というより普通に旅行してるんですよねーってことでいつも使ってるパソコンがありませーん(ノートパソコンだから持ってこればよかったとかは言わない)諸事情により漸化式を優先して書きます
— ポタージュ(エモンガのアイコン) (@_2pt) 2018年4月8日
物理はその次あたりで〜 https://t.co/q71mdjWyNU
というわけで物理の問題の図とかを載せれないので後に回して,先に漸化式の話,正確に言えば『隣接3項間漸化式の特性方程式が共役複素数解となるときに無理やり(?)一般項を出す方法』についての記事を書こうと思います~
隣接3項間漸化式の一般解
まずは,の解を高校の教科書的にではなく,"当てる"感じで考えてみましょう.
試しにを代入してみると,
となって,両辺をで割ることで
を得ます.これは特性方程式とか言ったやつそのものですね!ここでは,この特性方程式が重解を持つ場合は考えないことにします(2解を,としたときに).すると,,を任意定数として
もも解となるので,当然
も解となって*1,これが隣接3項間漸化式の一般解となります.
特性方程式が共役な複素数を解に持つ場合
特性方程式が共役な複素数解,を持つとき,極形式を用いることでと表すことができるので,ド・モアブルの定理などを用いて
であることより,
改めて→,→と置きなおすと,
となって一般解を表すことができました!
では,早速この事実を使って問題を解いてみましょう!
問題
1個のサイコロを回()投げたとき,3の倍数の目が出た回数が3で割り切れる確率をとする.例えば,は1回投げて3の倍数の目が出ない確率なので,である.
とするとき,であることを示し,となるを求めよ. (2016年 第1回 京大本番レベル模試)
解答
サイコロを回投げた時,3の倍数の目が出た回数を3で割ったときに,
- 割り切れる確率を
- 1余る確率を
- 2余る確率を
とします.このとき
,,
です.また,3の倍数の目が出た回数は3か6が出れば1増え,それ以外は変わらないことと,サイコロを回投げた時のすべての確率の和は1であることから,
となります.これを整理していくと,
これと,から,
ここで特性方程式は
であり,これを解くと
より,
と置くことができる.ここで,初期条件
,
*2 と,
とを比較することで,連立方程式
を解いて,
,
とわかる.よって,
とわかるから,
であり,を満たすのはとなるとき,即ち求めるは,6で割って3余る数である.
補足など
正攻法は一般項をださないんですけど,あえて解いてやろうという心持ちで臨めば解くことができてしまいましたね!w
なお,このやり方そのままで答案を書くと減点されると思いますので使うことがあれば(?ないと思うけど...)数学的帰納法なんかを使って証明してから使うようにしましょう.
緑の予備校の模試の問題は入試に対応してるかといえば微妙?な気もするけどよく見れば面白い問題がちょいちょいある印象を受けますがどうでしょうか?
編集に関しては...
疲れた.打つのに3時間くらいかかったわ.二度とやりたくないw(編集画面では約5000文字)