はじめに
twitterみてたら某青色予備校の模試の問題が回ってきたわけで、
,,,,により数列,を定義する.
(1)すべての自然数について,が成り立つことを示せ.
(2)すべての自然数について,が成り立つことを示せ.
(3) の値を求めよ.
(4) (3)で求めた値をとするとき,
ならば であることを示せ.
初めてみたとき80000とかいうのと比較するのヤバwとか思って面白かったので友人に問題投げたら「これペル方程式とかニュートン法とかそういう系の話じゃね」って言われて、まあ考察タイムに入ったというわけですね!ってほとんど友人がやったことをまとめてるだけなんですけどネw
考察してみた
(1)はどうでもいいや()
(2)(3)について。ペル方程式を考えると、を代入して整理すると、(2)で示す等式になるのでこれらは解になっています。ここで、が十分大きいときを考えると、比はに近づいていきます。また、もに近づいていきます。
そこで(4)では、これらのうち、どっちの収束が早いか調べてるって感じみたいですね。
と、ここで、折角なのでpythonなんかを使って実際に計算をやってみました!って結果が下の表ですねー
n | ||||
---|---|---|---|---|
1 | 3 | 5 | 1.6666666666666667 | 1.6 |
2 | 20 | 29 | 1.45 | 1.4482758620689655 |
3 | 119 | 169 | 1.4201680672268908 | 1.4201183431952662 |
4 | 696 | 985 | 1.4152298850574712 | 1.4152284263959392 |
5 | 4059 | 5741 | 1.4143877802414389 | 1.4143877373279916 |
6 | 23660 | 33461 | 1.4142434488588336 | 1.4142434475957084 |
7 | 137903 | 195025 | 1.4142186899487321 | 1.4142186899115499 |
8 | 803760 | 1136689 | 1.4142144421220264 | 1.414214442120932 |
9 | 4684659 | 6625109 | 1.414213713314032 | 1.4142137133139998 |
10 | 27304196 | 38613965 | 1.414213588270462 | 1.4142135882704612 |
11 | 159140519 | 225058681 | 1.4142135668163807 | 1.4142135668163807 |
12 | 927538920 | 1311738121 | 1.4142135631354424 | 1.4142135631354424 |
13 | 5406093003 | 7645370045 | 1.4142135625038932 | 1.4142135625038932 |
14 | 31509019100 | 44560482149 | 1.4142135623955365 | 1.4142135623955365 |
15 | 183648021599 | 259717522849 | 1.4142135623769454 | 1.4142135623769454 |
16 | 1070379110496 | 1513744654945 | 1.4142135623737557 | 1.4142135623737557 |
17 | 6238626641379 | 8822750406821 | 1.4142135623732084 | 1.4142135623732084 |
18 | 36361380737780 | 51422757785981 | 1.4142135623731145 | 1.4142135623731145 |
19 | 211929657785303 | 299713796309065 | 1.4142135623730985 | 1.4142135623730985 |
20 | 1235216565974040 | 1746860020068409 | 1.4142135623730956 | 1.4142135623730956 |
※1.41421356237309504...
これを見ると確かに右のほうが収束が早そうですね。からもう違いがわかんないんで差をとったやつも下に載せて見ました
n | ||
---|---|---|
1 | 0.2524531042935716 | 0.014213562373095234 |
2 | 0.03578643762690481 | 0.00042045892481934466 |
3 | 0.005954504853795672 | 1.2378941142587863×10 |
4 | 0.0010163226843760143 | 3.644035520000699×10 |
5 | 0.00017421786834370678 | 1.0727040367086715×10 |
6 | 2.9886485738428448×10 | 3.157747396898003×10 |
7 | 5.127575636976189×10 | 9.29567534058151×10 |
8 | 8.797489312595275×10 | 2.737809978725636×10 |
9 | 1.509409368605219×10 | 8.215650382226158×10 |
10 | 2.589736691760436×10 | 4.440892098500626×10 |
11 | 4.443285517297113×10 | <10 |
12 | 7.623472964013445×10 | <10 |
13 | 1.307980390663488×10 | <10 |
14 | 2.244138208595814×10 | <10 |
15 | 3.850253449400043×10 | <10 |
16 | 6.605826996519681×10 | <10 |
17 | 1.1324274851176597×10 | <10 |
18 | 1.9317880628477724×10 | <10 |
19 | 3.3306690738754696×10 | <10 |
20 | 4.440892098500626×10 | <10 |
こっちだとわかりやすいですね!右のほうが収束がめっちゃ早い。途中から計算結果が0になって表示されなくなっちゃったし。
ここで32桁とかで出せないかなって調べて見たらpythonの構造上16桁以上になると正確な値にならないらしい......残念。