お題
有理数係数三次方程式の解をとしたとき,は有理数係数のの二次式で表すことができる.
証明的なやつ
としてよい.
解と係数の関係より,
,
よって
,
これを用いて
・・・☆
また,
となるから,
なお,途中で
の関係を用いた.また,
にを代入すると
ここで,とすれば,これは
となる.この方程式の3解をとすれば,解と係数の関係より
となる.
(☆の文字をそれぞれ対応させる)
同様にして
また,は,と置いたことにより,それぞれに対応するので,
ここで
であることを用いた.
とおいたので,元に戻すと
よって,
また,
これと
を連立すると,
となって,確かには有理数係数のの二次式で表すことができた.
補足とか
そもそも書こうとしたきっかけはとかでをを用いて表すとかだったんですけど,初めて解いた時に判別式の値ありきな解き方しちゃって一般的に考えれないのかって思ったのが始まりなんですけど,ちゃんと一般的に表せましたね.
三次方程式の判別式はと表せるんですけど,ここではとして,色々やったらが出てきたということです.途中でつまりを使ってるんですけど,有理数係数で表せるのはが実数になる場合だけですね.
あとまあ解が巡回するとかどうとかそういうのもあったりするー.(書こうと思ったけどなんかめんどくなった)